変な世界での双子のパラドックス

現実の宇宙ではなく仮想の宇宙です。その宇宙は相対性理論は成立するとします。

その宇宙は膨張も収縮もせず、また、完全に平坦です。そして、構造は三次元トーラスになっています。ちなみに、二次元トーラスはドーナツの表面のような閉じた世界で、真っ直ぐいくともとのところに戻ってくるような世界です。ただ二次元トーラスは曲がっていますよね。しかし、三次元トーラスというのは、閉じているにもかかわらず空間が平坦なままなのだそうです。ゲームの世界で端っこと、反対の端っこがつながっているような感じです。

前置きが長くなりましたが、
そんな世界での双子のパラドックスをするとどうなるのかと思って質問したくなりました。

・・・・・
その宇宙で、双子の兄弟がそれぞれ宇宙船で亜光速で逆方向に等速直線運動をしています。

あるとき、兄弟はすれ違います。兄弟はどちらも20歳です。

ここからは、兄の立場にします。兄が40歳のとき、再び弟とすれ違いました。なぜ、スレ違うかというと、宇宙が閉じているからです(しかも平坦なまま閉じています)。

このとき、弟の年齢は40歳よりも若いでしょうか。それとも、兄と同じ年齢でしょうか。

それを確かめるために、すれ違うとき、兄は弟に無線で「僕はいま、40歳だけど、君は何歳か」と訪ねます。弟からはどんな返事がくるでしょうか。

普通の双子のパラドックスは弟が地球で待っていて兄は旅にでますが、兄は出発時と折り返し時と帰還時に加速度運動をするため2人の運動は対称ではありません。しかし、これの場合、対称です。

平坦な宇宙で等速直線運動をするというだけで、兄と弟は再開できてしまいます。

特殊相対性理論では、相手の時間が遅く進むのは、お互い様です。

兄からみると自分が40歳で、弟は40歳よりも若いし、弟からみると自分は40歳で兄は40歳よりも若いのではないでしょうか。

それが、再会できなければ、何の問題もないですが、この世界では(すれ違うとき)再会できてしまいます。

兄が「君は何歳だ？」と聞いたら、弟の返事はどんなものになるのでしょうか。

一方、二人は対称な運動をしているのだから、年齢がズレるのは変な気もします。


どうなるのか、教えてください。

質問者からの補足コメント

• ご回答ありがとうございます。
  
  まず、兄弟が再会するためには閉じた宇宙がほしかったです。
  で、もしも、空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら、閉じているけど、よろしくありません。空間が曲がっている関係で、お互いに相手の年齢はズレていっても、宇宙を1/4周したあたりから、相手の年齢は自分に近付いてきて、スレ違うときには一致するような気がします。(たぶん、そうですよね)
  
  平坦ということにこだわったのは、一般相対性理論を考えなくていいように、完全に等速直線運動をさせたかったからです。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 02:03

• ご回答ありがとうございます。
  
  逆方向に飛んでいると書きましたが、平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。運動は相対的だから、兄は自分が静止していて弟だけが(例えば)0.9999cで飛んでいると見るし、弟は自分が静止して兄が0.9999cで飛んでいると見るのではないですか。で、0.9999cで飛んでいる物体の時間はゆっくり進むのではないですか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 03:43

• ＞大域的(global)には区別ができるという話をしてます。
  
  つまり、その宇宙の絶対静止系みたいなものがあって、それに対する運動を考えるということですか。また、特殊相対性理論もうまく成立しないということですか。
  
  宇宙に方眼用紙みたいなものはないのに、どうやって、絶対静止系というのを定義するのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 10:29

• #4について。
  ＞前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
  
  この理屈がわかりません。
  視点は兄なら兄においていいのですか。ここで、見立てとして、宇宙が空間的に同じものが繰り返していて、兄が分身の術のように複数いると見立てると、兄にとって、前にいる兄も後ろにいる兄も静止していると思います。そして、距離も前後で同じですよね。全てが静止し、同じ距離を一定の速度の光が進む時間は同じではないのですか。

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 19:05

• ＞宇宙が膨張して兄弟が離れてまた、収縮に転じて再会する場合も、
  同じ時間経過してるので、同じ歳ですね。
  
  それはそうだと思います。膨張と収縮は、2人の間の空間の目盛りが増えたり減ったりするだけで、いわば、兄弟はほとんど同じ位置で互いに静止していたのと変わらないのではないでしょうか。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/10 23:00

• ＞反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。・・・
  
  この一連の意味がわかりません。時計まわりと言っているのは周回の位置をみるための便宜上で、あくまでも運動としては直線運動でいいのですね。
  それはそれとして、
  兄からみて弟の速度をv(亜光速)とするとc＞vです。だから、どちら周りでも光が一周する時間よりも弟が一周する時間の方が少し長くかかるのではないですか。
  
  ＞兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
  
  弟には同時には届きません。弟を追いかける方向の光(時計まわり)は長くかかるし、弟の進行方向と逆の光(反時計まわり)は早く届きます。
  
  ＞弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？
  
  特殊相対性理論では結論は変わらないように思います。兄の場合と同じだと思います。
  
  それで、もし不都合が起きたらどう説明するかは私はわかりません

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:01

• 特殊相対性理論が成立する宇宙という設定です。ただし、構造が変なので、成立させられるかどうかは別です。そこが質問です。
  
  普通の特殊相対性理論の世界、すなわち、平坦で無限に広い宇宙なら、兄と弟がすれ違ったあとは、離れるだけの状態で、これの場合、二人の運動が対称であっても兄の視点で自分が40歳のとき、弟は21歳だったりしますよね。弟の視点でもそうですよね。これで問題ないのが特殊相対性理論です。あくまで、観測者視点だからです。再会することもないですし。
  
  この質問の場合、再びすれ違うことが発生してしまって、2人は同じ場所にいて、時間ロスなしに相手の年齢を聞くことができてしまいますが、特殊相対性理論によると、弟からは「21歳だ」という返事が来そうです。しかし、それはそれで、変な感じです。だから、よくわからなくて質問しています。

  No.13の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/11 15:16

• よく分からないので式で書きます。兄と弟は互いに相対速度vで逆向きに運動しているとします。兄からみても弟からみても宇宙1周の距離はＬとします(兄や弟の速度と宇宙一周の距離の関係はどんなときも同じか変化するかは私はわかりません。考える基準として宇宙を絶対静止みたいに想定できるのかもわかりません)
  
  ①兄の視点
  ・前方でも後方でも発射した光が兄に戻ってくる時間→Ｌ/c
  ・前方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c-v)
  (発射と同時に届く光ではなくて、その次に届く光)
  ・後方に発射した光が弟に届く時間→Ｌ/(c+v)
  
  ②弟の視点
  ①の文章で兄と弟を入れかえたものになります。
  
  何か問題はありますか。
  
  あと、相手方の時間遅れは兄からみて弟でも弟からみて兄でも
  t´=t√(1-(v/c)^2)なのが特殊相対論です。当質問の計算でこれを使うと不都合が起きたとしても、その解決法は私はわかりません。

  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 16:54

• 分身と書いたのは、宇宙の距離を把握するための便宜上のことです。実際には、兄はここに１人しかいません。１人しかいないので、兄の時間t=0は1通りしかありません。弟も同じです。

  No.17の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/12 21:02

• 冒頭に「互いに静止している2つの時計」を比べると書いてあるので流れでいくと、ここにいる兄と見えている兄の時計を比べる話かと思いきや、弟と比較しています。兄からみて弟の時計は運動しています。定義とは別の検証をやっていませんか。勘違いだったらすみません。
  
  もう、これで補足を使い果たしました。終わりそうにないのが残念です。
  
  質問に戻りますが兄弟の相対速度が0.99cだとし20歳の時にスレ違ったとします。すると特殊相対論では兄の視点で兄が40歳のときは弟は25歳ですよね。また、弟の視点で弟が40歳のときは兄は25歳ですよね。そのとき再びすれ違うようにします。至近距離ですれ違うという出来事は兄弟で共通しています。兄の視点で兄が40歳の時に弟に年齢を尋ねたら弟からは何歳という返事がきますか。
  
  これ、わかりません。結論としては、平坦トーラスで特殊相対性理論は成立すると思いますか。しないと思いますか

  No.18の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/13 12:16

No.1 回答者： Castelland 回答日時： 2023/01/10 01:04

産まれた時から数えての歳なのだから　何処に居ても　同じ歳・・

パラドックスでも　現実でも　スタート地点から物事を考える事

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 01:08

平坦なトーラス時空と特殊相対性理論は両立しない、ということの端的な証明になっていると思います。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 01:32

No.2に追加。

　うっかり「平坦なトーラス時空」なんて書いてしまったけれども、考えてみたら、「平坦」かどうかは本質的ではないように思います。両者とも同じ軌道を、ただ逆向きに移動するわけですから。むしろ、等方的だ（空間に特定の方向というものがない）という（暗黙の）条件のほうが重要ではないでしょうか。
　次に「時空」について。一般相対性理論の重力方程式の解のひとつとしてゲーデル解（不完全性定理で有名なあのクルト・ゲーデルによる）が知られています。時間軸方向がトーラスになっているという解で、要するに因果律が破綻しているんですからトンデモない。さて、ゲーデル解の世界で光速で移動したとき、空間的トーラスを横断（一周）するのと時間的トーラスを横断するのが同時だとすると、因果律がオカシくなって辻褄が合わないよということも含めて、ご質問の話と辻褄が合うような気がします。

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/10 02:41

３次元トーラスが平坦だというのと同じ意味では２次元トーラスも平坦なのですけどね。

それはともかく、簡単のため空間は1次元としますが、
例えば、発射した光がやがて自分の所に戻ってくる宇宙を考えているわけですよね。前方と後方に同時に光を発射した時、それぞれの光が戻ってくるわけですが、必ずしも同時ではなく時間差があります。
この時間差が兄と弟で異なるのなら、この点で兄と弟は対称でありません。年齢差があっても矛盾はありません。

具体的にどちらが若いかは状況次第ですが、光が戻ってくるまでの時間差が0に近い方が年を取る形になります。

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/10 08:15

>平坦な宇宙では等速直線運動と静止は区別がつかないのではないですか。

　

それは局所的(local)に区別できない(空間的にも時間的にも自分の近くだけを見ている時に区別できない)という話でしょう。
大域的(global)には区別ができるという話をしてます。

トーラス構造を考えるというのは数学的には
(x,t)の点と(x+L,t)の点を同一視するような周期境界条件を課しているとお考えかもしれませんが、まずそこが違うんです。
いや、そう言う特別な座標系(以下「静止系」)がある事は否定しませんが、他の慣性系の視点では周期境界条件が違う形に見えるのです。

つまり、
> (x,t)の点と(x+L,t)の点
は時刻座標が共通ですが、ローレンツ変換すると時刻座標は共通ではなくなります。具体的な式の計算はしませんが、他の慣性系では時刻の違う2つの点を同一視するような周期境界条件を考える事になります。

「静止系」とその他の慣性系で違うのは周期境界条件の部分だけなので、周期境界条件が関係しない現象(局所的な現象)を考えている限り確かに違いはなく区別はできません。
しかし、今は周期境界条件があったらどうなるかを問題にしているのだから、周期境界条件を無視する事は許されません。

No.6 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 10:37

No.3へのコメントについて。

> 空間が三次元球面(四次元球の表面)だとしたら

　おっしゃる通り、空間全体の平均曲率が0であることは肝心な仮定ですね。もうひとつ重要なのが、因果律が成り立つ宇宙だ、という仮定です。
因果律が絶対破綻しないという前提があるからこそ「矛盾している」という概念が意味を持つ。ゲーデル解ではそれすらも怪しくなるわけです。

> 一般相対性理論を考えなくていいように

　別に重力の話をしているわけじゃありません。ゲーデル解は、「少なくとも一般相対性理論には矛盾しない」という意味では自己矛盾していない時空のひとつである。それに比べれば、ご質問にある想像の時空はちっとも突飛な話じゃない、ということを言ったまでです。

　逆に、ご質問のように「時間にはループがなくて、空間だけが等方的なトーラス」である平均曲率0の時空なら、No.2で話は尽きていると思います。

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/10 13:42

具体的な定義方法の例は#4と#5をお読み下さい。

#4は現実的な測定を念頭においたもの、#5は数学的背景を念頭においたものです。
読んで分からなかったのならその点について聞いて下さい。完全スルーして既に答えた事について聞かれても追加で何を書いたら良いのかわかりませんよ。

特殊相対論はミンコフスキー時空での理論です。ミンコフスキー時空にトーラス構造はないので今考えている時空はミンコフスキー時空ではありません。なので基本には一般相対論で取り扱うべき話です。

No.8 回答者： s_hyama 回答日時： 2023/01/10 18:36

反相対論者ですが、

特殊相対性理論の骨格は相対運動に境界はないということなので、再会できる背景（たとえば絶対静止座標系）があれば兄弟は同じ時間経過なのでしょう。

No.9 回答者： chiha2525 回答日時： 2023/01/10 19:17

兄と弟がそれぞれ反対方向に分かれていくと、兄は若い弟に会い、弟は若い兄に会う。

なんと相対的なのかｗ
『若い弟に会う兄』と『若い兄に会う弟』が再び会わなければ、それぞれの相手が若いままであることに、何の不都合もないのである（デデン！

No.10 回答者： eatern27 回答日時： 2023/01/10 20:32

ではその兄から見て同時に届くのだという事にして、そこに弟を登場させます。

簡単のため１次元(つまり円周上の運動)としますが、兄の静止系からみて兄は時計でいう12時の位置に静止している事にします。

兄が光を放った瞬間、弟は時計回りに運動しつつ、ちょうど12時の位置を通り過ぎたとしましょう。

時計回りに放った光と反時計回りに放った光は12時にいる兄に同時に届くといつ前提で考えていました。
反時計回り放った光が12時に到達するのは弟とすれ違った【後】の話です。
一方時計回りに放った光が12時の位置に到達するのは弟とすれ違う【前】の話です。

兄が放った光は兄から見て弟の元に同時に届くでしょうか？
弟視点にしたり光を弟が放っていた事にした時に結論は変わりますか？