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以下の問題が分からないので計算式を教えてください

ある企業が製造している電球の寿命の母平均と,母標準偏差の95%信頼区間を推定するため,大きさn=10の標本を抽出し,耐久時間のテストをした、その結果は下のようであった

2753
2563
2689
2405
2570
2477
2523
2549
2601
2594
これをもとに母平均と母標準偏差の95%信頼区間を推定せよ


答えは母平均の信頼区間[2501.78、2643.02]
母標準偏差の信頼区間[67.90、180.23]

A 回答 (3件)

サンプルの値を整理すると



サンプル平均は 2572.4
サンプル分散は 8770.24
不偏分散は 9744.71

になります。

部平均の推定には、母分散が未知なので「不偏分散」を母分散の点推定値として、t分布を使います。
推定する母平均を μ とすると
 t = (μ - 2572.4)/√(9744.711/10)  ①
これが、「95%」の範囲に入るのは、下記の「t分布表」から「両側 5%」であることから「片側 2.5%」の「自由度 10 - 1 = 9」の欄を読みとって
2.262

↓ t分布表の例
https://bellcurve.jp/statistics/course/8970.html

従って、求める「母平均の 95%信頼区間」は、①②を使って
 -2.262 ≦ (μ - 2572.4)/√(9744.71/10) ≦ 2.262

これを変形して
 2572.4 - 2.262√(9744.71/10) ≦ μ ≦ 2572.4 + 2.262√(9744.71/10)
数値を計算して
 2501.788・・・ ≦ μ ≦ 2643.011・・・
→ 2501.8 ≦ μ ≦ 2643.0

あなたがお書きの解答とのずれは、途中計算の桁数の取り方でしょう。
t分布表からの読み取り値「2.262」が有効数字4桁しかないので。

なお、母平均の信頼区間の求め方は下記などを参照ください。

https://bellcurve.jp/statistics/course/8972.html


母分散の推定には、やはり不偏分散と「カイ2乗分布」を使います。
推定する母標準偏差を σ とすると
 χ^2 = (n - 1)s^2 /σ^2
s^2 がサンプルから求めた不偏分散で s^2 = 9744.71, ン=10 なので
 χ^2 = 87702.4 /σ^2    ③

これが、「95%」の範囲に入るのは、下記の「カイ2乗分布表」から「両側 5%」であることから「下側 2.5%」(表の「97.5%」)、「上側 97.5%」(表の「2.5%」)の「自由度 10 - 1 = 9」の欄を読みとって
 2.70 ≦ χ^2 ≦ 19.02

↓ カイ2乗分布表(母分散の推定のやり方も載っています)
https://bellcurve.jp/statistics/course/9212.html

③を適用して
 2.70 ≦ 87702.4 /σ^2 ≦ 19.02
変形して
 4611.06・・・ ≦ σ^2 ≦ 32482.37・・・
→ 67.9 ≦ σ ≦ 180.2
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#1です。



計算式を書きます。(下の方)

元は正規分布という仮定で、母分散未知なので、t分布を使わせたんでしょうね。

でも、一般的には寿命は対数正規分布に従うし・・・、
さらに、抽出サンプルのような有限母集団の場合は、10個中半分壊れれば、その時点で見かけ上の故障確率は半分になるので、分布の平均は前倒しされます。それを修正するためにワイブル分布を使う必要がありますが・・・、
それは棚上げしていますね。


さて、平均mは標本平均(算術平均)で良いですが、標準偏差sは不偏分散の平方根を使います。

自由度dfはn-1=9 です。

t値、χ2値は数表から求めるか、計算ソフトを使って求めます。

母平均の信頼区間の式

m ± t(0.025,df)・s/√n

標準偏差の信頼区間の式

s ・ √(df / χ2(0.975, df))
s ・ √(df / χ2(0.025, df))

どうしてそうなるかは、教科書に書いてあります。
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問題文はたったこれだけですか。


耐久試験ってことは摩耗故障ですから、m≒2のワイブル分布っていう前提でしょう。
プロットに、平均ランクを使うのか、メディアンランクを使うのか、指定してないのですか。

とか、疑いつつも、正規分布仮定とt分布仮定でやってみたら、t分布仮定と一致しました。いいかげんだなあ。信頼性の一派から文句が出るかも。

計算式は、下の記述から読み取れると思いますが、分からなければ、コメント下さい。今日はもう遅いのでご勘弁を。

まずはRでやった結果。

> mean(x)
[1] 2572.4
>
> # 平均値の信頼区間を求める(R派はこのように簡単に求める)
> fit <- lm(x ~ 1)
> confint(fit, level = 0.95)
2.5 % 97.5 %
(Intercept) 2501.783 2643.017
>
> # 理屈に沿って求める
>
> df <- n - 1
> mean(x) + (qt(0.025, df) * sd(x) / sqrt(n))
[1] 2501.783
> mean(x) + (qt(0.975, df) * sd(x) / sqrt(n))
[1] 2643.017
>

標準偏差の信頼区間は、

> # 標準偏差の信頼区間を求める
> sd(x) * sqrt((df) / qchisq(0.975, df))
[1] 67.89986
> sd(x) * sqrt((df) / qchisq(0.025, df))
[1] 180.2157
>

またまた、微妙にちがうなあ。
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