①赤線部の式では[x=0〜4]と書かれていますが、cosθ=(1/2)のとき、x=0になりますが、

①赤線部の式では[x=0〜4]と書かれていますが、cosθ=(1/2)のとき、x=0になりますが、
(-π/3)<θ<(π/3)より、(1/2)<cosθ<1であることから、cosθ≠1/2であるのに、なぜxの下端は0になるのですか？

②(1)では元々、-π≦θ<πと定めていましたが、(2)から(-π/3)<θ<(π/3)となりますが、これはθの範囲がより正確に？細かく？絞った結果が
(-π/3)<θ<(π/3)になったということですか？

下手な説明ですが、何卒解説よろしくおねがいします

補足:問題と解説のURLです。

https://dotup.org/uploda/dotup.org2932630.pdf_L4 …

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/27 14:56

①原点だけ面積から除外してもしなくても、面積は同じだから。

②曲線C上をPが動くとき、θは-π/3とπ/3との間の値を取る
ということ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/27 14:06

ああ、この質問↓の続きですね。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13326533.html
連続関数を積分するのに、区間の端が積分区間に入るか入らないかは
あまり問題になりません。そこを問題視するなら、
開端での積分を定義してからでないと話にならない。
一方、広義積分が既知なら、
有界な関数の積分で端点の有無が結果に影響しない
こともほぼ自明でしょう。
前回の質問文を見ると、そんな重箱に隅以前に
問題文も解説文もまったく読めていないようだったけど、
そのへんはちゃんと解決できたんでしょうか？

この回答へのお礼

はい。前回の質問は解決できました！

お礼日時：2023/01/27 14:34

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/27 09:52

①(3)で問われているのは題意の曲線Cのこと。

これと、(1)(2)で問われている「r,θの方程式で表された曲線から原点を除いたもの」とをごっちゃになさっているんでしょう。（なお、(3)の模範答案に書いてある「注」も意味不明。質問者氏と同じところで混乱してるんでしょう。）
②「より正確に？細かく？」ということじゃありません。(3)を解くのに必要なんです。
　r>0のとき、(-π/3)<θ<(π/3)の範囲外でかつ(-π≦θ<π)であるθにおいては、題意を満たす点Pを表すrが存在しない。一方、r=8cosθ-4という方程式は(-π/3)<θ<(π/3)の範囲外にも曲線を描く。
　逆にいえば、「方程式r=8cosθ-4が描く曲線のうち(-π/3)<θ<(π/3)の範囲にある、r=8cosθ-4を満たす点(r,θ)」と原点だけが、題意を満たしている点P=(r,θ)の集合Cである。キチっと書けば
　　C = {(r,θ) | ((-π/3)<θ<(π/3) ∧ r=8cosθ-4) ∨ r=0}
ですね。
　なお(1)(2)でわざわざ「Pは原点ではない」と条件をつけてあるのは、r=0のときはθはなんでも良いからです。（(1)(2)は「r,θの方程式で表された曲線」の話をしているんで、原点r=0を含めると問いが成立しなくなる。）

　で、(3)は（「方程式で表された曲線」じゃなくて）題意の曲線Cの面積の話です。なので、方程式が表す曲線のうち、題意の曲線Cに合う部分だけ（および原点）を使わなくちゃいけない。これで積分範囲が決まるわけです。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/01/27 09:46

これは問題が悪いのか解説が悪いのか。

問題が悪いと思いますが。

問題の条件である OP + 2AP = 6 という条件を満たすだけなら、別に点 P が O と一致しても構わないのです。あるいは点 P が (4, 0) に一致しても構わない。これが最も重要な条件。それゆえに 0 <= x <= 4 が成立します。

しかし。

(1) や (2) で極座標を使っている為に、(1) や (2) では問題文中に、わざわざ点 P は原点では無いものとする、という仮定を入れています。この仮定が (3) には無いというのがポイントです。

不親切な問題ですね。

点 P が原点である場合と、原点でない場合を個別に考えるのが (1) や (2) であって、(3) では個別に考えずに統合しているのです。

(3) の解説に、厳密には点 P は曲線 C 上の点とは言えないと書いてますが、これは間違いです。点 P を原点とする時の曲線 C と、点 P が原点では無い時の曲線 C を個別に考えて、統合しているのです。

もっとも点 P が原点である時は、曲線 C の点の部分になりますから面積 0 ですから、統合すると言っても 0 を足し算するだけですが。