条件付き確率？

３つのコップ（右中左）があり、中に一つ玉がある。
最初左に玉があると予想した。（これが当たる確率は１／３ですね）
そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。
この場合、最初の予想＝左にある、が当たる確率は１／２ですか？それとも１／３ですか？

答えとともに簡単に理由をお願いします。
私としては、右にないという条件の場合は１／２で当たりそうな気がするのですが。

No.9 ベストアンサー 回答者： Naoki_M 回答日時： 2005/04/17 14:15

横から失礼します。

既に詳しい回答があるので、私が特に説明することはないのですが、補足の部分について回答します。質問の答えは1/2で合っています。

＃２さんの回答に対する補足について。
確率（Ａ｜Ｂ）とは、「Ｂという条件のもとで、Ａである確率」です。
P(A｜B)はP(A)/P(B)ではなく、P(A｜B)=P(AかつB)/P(B)です。
＃４さんの回答とはAとBが逆になっていますが、言っていることは同じです。

＃７さんの回答に対する補足について、1/3になる理由を説明します。
前者と後者では「玉の入っているコップを開けてしまうことがあるのか、ないのか」という部分が違います。前者は玉の入っているコップを開けてしまうことはありませんが、後者は「右に玉が入っていて、右を開けてしまう」ということがあります。

なお、前者の例は、より正確に書くなら、「玉の入っている場所を知っている人が、真ん中か右のコップのうち、玉の入っていない方を開ける。左のコップが当たりの場合は、1/2の確率で玉の入っていない方を開ける。」ですね。この条件で計算します。

前者の条件では、以下の４つの場合が考えられます。
(1)左が当たりで、真ん中を開ける……確率は(1/3)×(1/2)=1/6
(2)左が当たりで、右を開ける……確率は(1/3)×(1/2)=1/6
(3)真ん中が当たりで、右を開ける……確率は1/3
(4)右が当たりで、真ん中を開ける……確率は1/3

ここで、
A：右のコップが開けられる
B：左のコップが当たりである
として、条件付確率の定義通りに計算してみます。

P(AかつB）=1/6……(2)より
P（A）=1/2……(2)+(3)より
したがって、＃７さんの前者の例では、求める確率は(1/6)/(1/2)=1/3です。これは、もともとの質問の確率1/2とは異なります。条件が違うためです。

＃８さんの回答について。
割り算が出てくる理由ですが、条件付確率の式は、単に積の法則の式を変形しただけです。
P(AかつB)=P(A)×P(B｜A)
P(B｜A)=P(AかつB)/P(A)
この質問で聞かれているのは下の式の答えです。＃８さんが計算されたのは上の式ですから、答えは違います。既に＃６さんが指摘されている通りだと思います。

余談ですが、参考URLにも条件付確率の問題があるので、よろしければ参考にしてください。

参考URL：http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1245258

この回答へのお礼

よくわかりました。
知っている人が、右をあけて、ないのを確認させた場合に１／３というのは、わかりにくかったですが、わかりました。
昔、どこかのサイトで、知っている人が右にないのを確認させた後に、中に選び直すと、当たる確率が上がる、それは、最初は3つから1つを選ぶが、この時は2つから1つを選ぶからだ、みたいなことを書いていたので、混乱していました。それなら選び直して左にしたと考えれば左も１／２だろ、と思っていました。事実、中は２／３ですし。

お礼日時：2005/04/19 22:17

No.11 回答者： rinri503 回答日時： 2005/04/18 09:59

ＮＯ５，８ですが

ＮＯ１０さんわかった。わかった。
人騒がせな質問で、それなら結論は、わかりきってますね
ここで聞くほどのこともない質問でしたね
最近は、数学より日本語が分かりにくい質問、説明が多いから困ります

No.10 回答者： springside 回答日時： 2005/04/17 16:40

NO.8さんNo.4&6です。

まず、

>>質問者の条件を吟味しますとこういうことになる思いますが
>>（１）左にあると予想して（実際には中にあるかもしれない）まず、はずれを引きたい
>>（２）次は、当てにいきたい

↑ここが間違っています。
(1)は、「はずれを引きたい」のではなく、既に「左を引いてみた」のです。つまり、(1)はすでに過去の話であり、求めたいのは、そういう過去があったという前提で、(2)を考えると言うことなのです。
繰り返しになりますが、No.8さんが求めているのは、
　「左を引く前」における確率
であり、質問者が求めている回答は、
　「左を引いた後」における確率
です。

なお、条件付確率の公式に割り算が出てくるのは当然で、例えば、
　p×q=r
という式があったときに、欲しいのがqだった場合に、
　q=r÷p
になるというだけのことです。No.4における公式の導出をご覧いただければ一目瞭然だと思いますが。

No.8 回答者： rinri503 回答日時： 2005/04/17 11:49

ＮＯ５ですがＮＯ４さんの条件付確率に割り算がでてくる理由がもうひとつ理解できません。

掛け算と足し算なら分かりますが。質問者の条件を吟味しますとこういうことになると思いますが
（１）左にあると予想して（実際には中にあるかもしれな　　　い）まず、はずれを引きたい
（２）次は、当てにいきたい
　　　こういう条件付き確率ですから、掛け算です
　　　右がはずれる確率　２／３
　　　次に左があたる確率　１／２
　　　
したがって　２／３ｘ１／２＝１／３
　　　　　になるはずです
　　

No.7 回答者： eatern27 回答日時： 2005/04/16 12:40

＞そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。

この部分の解釈によります。

玉の入っている場所を知っている人が、中と右のコップのうち、玉の入っていない方を開けた
のであれば、1/3

玉の入っている場所を知らない人が、中と右のコップのうち、どちらかを適当に開けてみて、偶然、玉が入っていなかった
のであれば、1/2

となります。まぁ、
＞そして、右のコップを空けてみると、玉はなかった。
の書き方からすると、後者という感じがするので、#4さんの通りですかね。

この回答への補足

どちらかというと後者です。
しかし、前者が１／３になる理由がわかりません。

補足日時：2005/04/16 15:22

No.6 回答者： springside 回答日時： 2005/04/16 08:33

No.4です。

No.5さんの回答ですが、No.5さんが求めているのは、

　コップを全く空けていない状態おいて、「最初に右を開けたら空で、かつ、次に左を開けたら玉が入っている」確率

ですが、求めたいのは、

　右のコップを空けたら空だったという状態の下で、「左を開けたら玉が入っている」確率

です。

この２つは、「右が空である」という事象が判明している（発生している）か否かという点で、全く別のものです。

No.5 回答者： rinri503 回答日時： 2005/04/16 06:25

条件付確率だと思うのですが、こういう風に考えるのはどうでしょう、間違っていますかね

　問題は、右をあけて、次に左か中を開けるのでしょう
　２回試技をしますね
　１回目　右が空である確率は　２／３です
　２回目　左があたる確率は　１／２
　すると
　　（２／３）ｘ（１／２）＝１／３　
　　　　　　　　　と考えるのではないですか

No.4 回答者： springside 回答日時： 2005/04/15 19:56

これは条件付確率の問題ですが、以下のように考えればいいです。

まず、公式を導いておきます。

２つの事象AとBがあるとします。また、Pを確率とします。
P(AかつB）は「AとBが両方とも発生する確率」ということです。

さて、「AかつB」というのは、「Aが発生」かつ「Aが発生という条件の下でBも発生」ということなので（※）、
　P(AかつB）=P（A）×P(Aが発生という条件の下でBも発生）
となります。
この式を変形すると、、
　P(Aが発生という条件の下でBも発生）=P(AかつB）÷P（A）・・・(1)
ということになります。
（※：AとBが独立であれば、単純に「Aが発生」かつ「Bが発生」となりますが、今、独立かどうかはわからないので、独立の場合と独立でない場合の両方を含めたものにしています。）

質問の問題に戻りますが、

A：右のコップに玉がない
B：左のコップに玉がある

としたときに、P（Aが発生という条件の下でBも発生）を求めればよい、ということになります。
すると、

　P(AかつB）=1/3　（←要するに左のコップに玉がある確率です）
　P（A）=2/3　（←左のコップか真ん中のコップに玉がある確率です）

ですから、求める確率は、(1)により、

　(1/3)÷(2/3)=1/2

となります。

ちょっとわかりにくいかも知れませんが、(1)の公式を理解しておくと、この手の問題は（見かけがややこしいものでも）機械的に解けるようになります。

No.3 回答者： ZeusSeesSuez 回答日時： 2005/04/15 18:45

この問題のように

右のコップをあけたのがあなた、というか玉がどこにあるか知らない人なら、
当たる確率は1/2に上がります。
当初、全体事象は玉左・玉中・玉右の３通り、当たりとなるのは玉左の１通りなので、確率1/3。
ところが右コップが空だとわかったので、
全体事象が玉左・玉中の２通りに減り、当たりとなるのは玉左の１通りのままなので、1/2となります。

ここからは余談です。
もしも、あけたのが玉のありかを知っている人だった場合、
当たる確率は1/3のままなのです。
なぜでしょう。
(もしも右に玉がある場合は、彼または彼女は中のコップをあけるものとします)

No.2 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/15 17:24

最初の状態では、たしかに、

確率（左に玉がある）＝１／３
です。

しかし、右のコップを開けたと言う事実を知った時点で、条件付き確率になり、二つのもののどちらかに玉があるという問題におきかわります。

式で書くと、

確率（左に玉がある｜右に玉がなかった）＝１／２

となります


これは、右のコップを開ける前において、
右のコップには玉がないという事実を知っていた場合と同じ確率として計算されます。

すべての場合は以下のABCの３通り。

A:○××
B:×○×
C:××○

右に玉がないとわかった時点で、
ABのいずれかになりますから、１／２。

この回答への補足

だいたいわかりました。

＞確率（左に玉がある｜右に玉がなかった）＝１／２
この部分は、計算式で表すと
確率（左に玉がある｜右に玉がなかった）＝確率（左に玉がある）／確率（右に玉がない）＝（１／３）／（２／３）＝１／２ということでしょうか。
そもそも確率（Ａ｜Ｂ）とは、Ｂであるとき、Ａである確率でしょうか。
するとそれは確率Ａ／確率Ｂでよろしいでしょうか。

補足日時：2005/04/16 15:14