式と証明

x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5≧0
を証明せよ、という問題で、
(x－y＋1)^2＋(x－2)^2≧0
よりとただ書いてあっただけだったんですけど、
どうやって、導けばよいのでしょうか？

No.1 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/04/16 22:30

x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5=(x－y＋1)^2＋(x－2)^2ではなく、x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5=(x－y＋1)^2＋(y－2)^2を示すのだと思います。

x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5をxについて整理して
x^2-(2y-2)x+2y^2-6y+5={x^2-2(y-1)x+(y-1)^2}+{2y^2-6y+5-(y-1)^2}
小刻みに計算すると

x^2-2(y-1)x+(y-1)^2=(x+y-1)^2
2y^2-6y+5-(y-1)^2=2y^2-6y+5-y^2+2y-1=y^2-4y+4=(y-2)^2
ですから

x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5=(x－y＋1)^2＋(y－2)^2
となるのです。

No.2 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/04/16 22:33

その答はまちがっています。

因数分解の公式を使い、

z = x^2－2xy＋2y^2＋2x－6y＋5 とおくと、
z = (x^2－2xy＋y^2)＋y^2＋2x－6y＋5
z = (x－y)^2 ＋y^2＋2x－6y＋5

と変形して、残りを２乗の形に取り込めないか考えると

z = {(x－y)^2＋2(x－y)＋1}＋y^2－4y＋4
z = (x－y＋1)^2＋(y－2)^2

となります。

No.3 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/04/16 22:37

(x－y＋1)^2＋(y－2)^2≧0

の後は、実数の２乗は０以上の値をとるので、

(x－y＋1)^2
(x－2)^2

はいずれも０以上になります。

その後、０以上の数と、０以上の数を足してもやはり、０以上となり証明されることになります。

No.4 回答者： houng 回答日時： 2005/04/16 22:41

おそらく、

(x－y＋1)^2＋(y－2)^2≧0
===
の誤植でしょう。

x^2 , －2xy , ＋2y^2 ＋ 2x
などから、
(x－y＋1)^2　が推出され、
元の式から　(x－y＋1)^2　を引くと
y^2-4y+4 が残ります。
これは、(y-2)^2　です。

(x－y＋1)^2　も (y-2)^2 もいずれも　0以上の
値となるので、これで元の式が正しいことが証明されます。

ずっと昔の経験ですが、数学の問題集は、問題文も回答も結構誤植があって質問者様と同じで悩んだ記憶があります。

この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございました。

お礼日時：2005/04/16 23:00