絶対値の最大と最小

Question

a を実数とする. ax≧0 , 0≦│x│≦│a│であるすべての実数 x に対して
│a│<│1-x│を満たすような a の範囲を求めよ.

※　解法は、高校範囲でお願い致します

syotao · Accepted Answer

さっそくぼくのいうことを聞いてくれてありがとう。
すばらしいです。
ぼくもここまでは考えませんでした笑。

これならあなたの図の赤線に挟まれたaにたいしては
第一、第二の不等式を満たすｘはすべて第三の不等式を満たすし、
それ以外のaについては
第一、第二の不等式を満たすｘで第三の不等式を満たさないｘが
あることがすぐにわかりますね。

endlessriver · Answer

間違えました。

syotao · Answer

まずはｙ＝|1-ｘ|＝|ｘ-1|のグラフを書いて
もとめるaの範囲が　-1＜a＜1/2　になることを読み取るのが
わかりやすいと思う。

endlessriver · Answer

ax≧0・・・・・①

0≦|x|≦|a|・・・・・②
|a|<|1-x|・・・・・③

1. a=0 のとき
①②から、x=a=0 なので、③は　 0=|a|<|1-x|=1
したがって、③は満たされる。

2.　1≧a>0 のとき、
①②から、x≧0, 0≦x≦a(≦1) なので、③は a<|1-x|=1-x
すると、0≦x≦a から
　a<1-x → a<1, 1-a → a<1,1/2 → a<1/2
なら③を満たす。

3.　a>1 のとき
①②から、x≧0, 0≦x≦a　なので、③は a<|1-x|
すると、
　0≦x≦1 の範囲に限るとa<1-x≦1
となり、条件に矛盾し、③を満たさない。

4.　a<0 のとき
①②から、x≦0, 0≦-x≦-a なので、③は
　-a<|1-x|=1-x → -x≦-a<1-x → 0<1
となり、③は満たされている。

5.
以上をまとめると、1、2、4から
　a<1/2
となる。

ちなみに、#1は①の条件と矛盾。

kamerabeginner · Answer

まず、条件ax≧0より、aとxの符号は同じです。また、条件0≦│x│≦│a│より、│a│≧│x│です。ここで、│1-x│に着目します。 xが実数であることから、1-xも実数です。よって、│1-x│は0以上の実数となります。しかし、│a│<│1-x│となるようなaが存在するためには、0≦1-xとなる必要があります。つまり、x≦1となります。以上のことをまとめると、次の2つの条件が得られます。 aとxの符号が同じであること。 x≦1であること。条件1より、aが正であればxも正、aが負であればxも負です。よって、aとxが同じ符号であることから、aの範囲は次のようになります。・a>0のとき：0≦a＜1 ・a<0のとき：-1＜a≦0 条件2より、xは-∞≦x≦1の範囲で動くことになります。よって、aが次のような範囲のときに│a│<│1-x│が成立します。・a>0のとき：-1＜x≦0 ・a<0のとき：0≦x＜1 以上から、求めるべきaの範囲は次のようになります。・a>0のとき：0≦a＜1かつ-1＜x≦0 ・a<0のとき：-1＜a≦0かつ0≦x＜1

絶対値の最大と最小

さっそくぼくのいうことを聞いてくれてありがとう。

間違えました。

まずはｙ＝|1-ｘ|＝|ｘ-1|のグラフを書いて

ax≧0・・・・・①

まず、条件ax≧0より、aとxの符号は同じです。

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング