数学の「命題」の範囲について、問題は解けるのですが理解がイマイチできていないところがあるので質問させていただきます。
例えば、「猫ならば動物である」という命題について
「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は同じことでしょうか?
この命題自体は真ですが
「動物ならば猫である」という逆は偽ですよね。
そして、この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか?
正直なにがわかっていないかもわからないくらい混乱しております。
もしよろしければ、易しく解説していただけると助かります!
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
皆さんの説明は正しいと思いますが、若干説明不十分なところがあるのではないでしょうか。
命題というとき主語と述語がきちんとあることが重要では?ここでは「Aは猫である」という命題(命題Pと呼びましょう)と「Aは動物である」(命題Qと呼びましょう)があり、命題Pと命題Qの関係が問題になっている。質問者さんがみとめているように、「Aは猫である」ならば、「Aは動物である」(つまり、P⇒Q)
が成り立つので、「Aは猫である」は「Aは動物である」ための十分条件であり、「Aは動物である」は「Aは猫である」ための必要条件ということになる。つまり、P⇒Qが成り立つとき、PはQの十分条件、QはPの必要条件、という。さらに、逆、つまりQ⇒Pが成り立つなら、PはQの必要条件でもあるので、PはQの必要十分条件という。しかし、逆は偽、つまり「Aは動物である」ならば、「Aは猫である」は成り立たないので、PはQの必要十分条件ではない、ということがわかったということでしょう。
>そして、この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか?
と書いていますが、上で示したように、逆が成り立たないということはPがQの必要条件でない、ということです。(よって、PはQであるための必要十分条件ではない、ということです。)
No.3
- 回答日時:
猫→動物の命題が真の場合、猫が十分条件、動物が必要条件
逆命題の場合
動物→猫、この命題が真のば場合、この十分条件は動物、必要条件は猫
真では無いから十分条件でも必要条件で無いです。
「命題の逆を考えること」は、逆も真かどうかを考えるって事です。
>>この逆について考えたことは「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか?
同じじゃ無いですよ。
動物→猫が偽であっても、逆の猫→動物は真なのですから。
No.2
- 回答日時:
> 「QがPの必要条件ではない」ことを示すことと同じでしょうか?
いや、関係ない。それは必要十分条件かどうかを検討する場合に意味があります。
「猫ならば動物である」が真であることから、全く自動的に
その対偶である「動物でないならば猫でない」も真であり、
「猫であること」は「動物であること」の十分条件であり、
「動物であること」は「猫であること」の必要条件であり、
「動物でないこと」は「猫でないこと」の十分条件であり、
「猫でないこと」は「動物でないこと」の必要条件である、
が言えます。
(ここまで、逆なんか関係ありません。)
逆である「動物ならば猫である」が偽であることからは、全く自動的に
その対偶(元の命題から見れば「裏」)である「猫でないならば動物でない」も偽であり、
「猫でないこと」は「動物でないこと」の十分条件ではなく、
「動物でないこと」は「猫でないこと」の必要条件ではなく、
「動物であること」は「猫であること」の十分条件ではなく
「猫であること」は「動物であること」の必要条件ではない、
が言えます。
そして、
「猫ならば動物である」が真で、かつ、その逆である「動物ならば猫である」が偽であることから、全く自動的に
「猫であること」は「動物であること」の必要十分条件ではない。
「動物であること」は「猫であること」の必要十分条件ではない。
「猫でないこと」は「動物でないこと」の必要十分条件ではない。
「動物でないこと」は「猫でないこと」の必要十分条件ではない。
(要するに、「猫」と「動物」は同一の概念ではない。)
が言えます。
> 混乱しております
もしかして、「PはQの必要条件ではなく十分条件でもない」という場合があることをお忘れなのかもしれないな、と思いました。
No.1
- 回答日時:
できる限り分かりやすく説明してみます。
「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は、基本的には別のことです。
「命題の逆を考えること」とは、命題の前件と後件を逆にした命題を考えることです。つまり、命題「猫ならば動物である」の逆は「動物ならば猫である」となります。逆の命題が元の命題と同じかどうかは、一般には成り立たない場合があります。今回の例では、「猫ならば動物である」という命題は真であるのに、「動物ならば猫である」という逆の命題は偽になってしまいます。
「必要条件を考えること」とは、ある条件を満たすために必要な条件を考えることです。つまり、ある命題が成り立つために必要な条件を考えることになります。今回の例でいうと、「猫ならば動物である」という命題が成り立つためには、「猫」であることが必要です。つまり、「猫であること」が「猫ならば動物である」という命題の必要条件となります。
このように、「命題の逆を考えること」と「必要条件を考えること」は基本的には別のことですが、逆の命題が成り立たない場合には、そのことが必要条件でないことを示すことにもなります。
例えば、命題「AであるためにはBであることが必要である」という場合には、「BであることがAであるための必要条件である」と言えます。しかし、命題「AであるためにはBであることが十分である」という場合には、「BであることがAであるための必要条件ではない」と言えます。
混乱しているかもしれませんが、少しでも解決に向かうことを願っています。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・10秒目をつむったら…
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・【大喜利】【投稿~9/18】 おとぎ話『桃太郎』の知られざるエピソード
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
【 数A 集合を用いた命題の真偽...
-
命題がわかりません!!
-
無理数
-
xは、実数とする時、次の命題が偽...
-
論理的言語の種類 排中律 が成...
-
数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教...
-
命題 「開いた文」について
-
a>b ⇒ a-b>0 の命題の逆と真偽
-
命題
-
無理数に関するこの命題は証明...
-
高2の数学の対数関数です。 真...
-
f(z)=1/(z^2-1)のローラン展開...
-
「無限の一つ前の数字は何?」...
-
三角関数の範囲について、 0≦x≦...
-
【数学】 lim x→a ↑これってど...
-
三角関数 -3分のπって3分の5...
-
シグマの範囲が2nまでの関数で...
-
dx/dy や∂x/∂y の読み方について
-
【放物線の問題】
-
判別式の使う時とか使わない時...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
「PならばQ」と「(Pでない...
-
数学の記号"⇔" "∴"の使い方を教...
-
任意の実数とは?
-
【 数A 集合を用いた命題の真偽...
-
a>b ⇒ a-b>0 の命題の逆と真偽
-
命題の否定でわからないところ...
-
無理数
-
xは、実数とする時、次の命題が偽...
-
命題
-
数学のサイトについて。
-
真偽表(真理値表)について 今日...
-
高校数学です! x, yを実数とす...
-
テーゼとアンチテーゼの意味
-
命題と論理式の違いは何でしょ...
-
必要十分条件
-
任意の実数xに対して、x-1<n≦x...
-
ある等式⇔ある等式の逆数をとっ...
-
ゲーデルの第1不完全性定理の具...
-
努力は成功のための必要条件?
-
ある表現が命題かどうかを示す...
おすすめ情報