この証明は高校数学の範囲でできますか？数1 数と式

①有理数は整数,有限小数,循環小数のいずれかになる。②逆に整数,有限小数,循環小数は分数で表すことができ有理数である。

①の証明って教科書の文章で証明になりますか？
②の証明って高校数学の範囲内でできますか？いきなり逆も成り立つと出てきました。
あとなぜaとｂを正の整数に限定しているのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  すみませんｒってなんですか？これって数学１の範囲内ですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 11:58

• 

  ②については文字式で一般化しなくても具体的な計算を見せるだけで良いのでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 15:51

• 

  性格悪ｗ

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/07 08:35

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/07 00:24

No.2へのコメントについて。

> ｒってなんですか？

No.2に説明してあるとおりで、たとえば
　　p = 0.12348989898989....
なら
　　q = 0.1234
　　r = 0.8989898989....
　　p = q + (10^(-4))r
ってことですよ。中学校レベルでしょうから、数1の範囲外ですね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/06 15:59

有理数の定義)

rに対して
r=a/b
となる整数aと自然数bが存在するとき
rを有理数という

①
rを有理数とすると
r=a/b
となる整数aと自然数bが存在する
b=1ならばr=aは整数
ある自然数nに対して
(a*10^n)がbで割り切れるならrは有限小数
そうでないなら
そこに書いてある通り
rは循環小数となる

②
xが整数ならば
x=x/1
となる整数xと自然数1が存在するから
aは有理数

xが有限小数ならば
x=x(0)+Σ_{k=1～n} x(k)*10^(-k)
となる整数x(0),0≦x(k)≦9がある
x={x(0)*10^n+Σ_{k=1～n}x(k)*10^(n-k)}/10^n
だから
a=x(0)*10^n+Σ_{k=1～n}x(k)*10^(n-k)
b=10^n
とすると
x=a/b
aは整数,bは自然数だから
xは有理数

xが循環小数ならば
x=x(0)+Σ_{m=0～∞}Σ_{k=1～n}x(k)*10^(-k-mn)
となる整数x(0),0≦x(k)≦9がある
x=x(0)+Σ_{k=1～n}x(k)*10^(-k)Σ_{m=0～∞}(10^{-n})^m
だから
s=Σ_{k=1～n}x(k)*10^(-k)
c=10^(-n)
とすると
x=x(0)+sΣ_{m=0～∞}c^m
x=x(0)+s/(1-c)
x=x(0)+{Σ_{k=1～n}x(k)*10^(-k)}/(1-10^(-n)}
x=(x(0){(10^n)-1}+{Σ_{k=1～n}x(k)*10^(n-k)})/{(10^n)-1}
だから
a=(x(0){(10^n)-1}+{Σ_{k=1～n}x(k)*10^(n-k)})
b=(10^n)-1
とすると
x=a/b
aは整数,bは自然数だから
xは有理数

aとbを正の整数に限定しているのは
分母b≠0だからと
負の場合の割り算の余りは1つに定まらないから

例えば
-10を7で割った余りを-3とすると
-10=7*(-1)-3

-10を7で割った余りを4とすると
-10=7*(-2)+4

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/06 14:58

①

写真の文章には、有理数が循環小数になることの略証が書いてある。
有限小数とは、循環小数の中で循環節が 1 桁の 0 になっている特別なもの、
整数とは、有限小数の中で循環部が小数点より左から始まる特別なもの
の名前だから、あの説明で目的の証明になっていると言えると思う。
②
循環小数を分数で書き換える計算は、小学校の算数で習ったとおり。
やって見せれば、それが証明になる。これを簡潔にまとめて書いとけばいい。↓
https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/recu …

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/04/06 10:00

> ①の証明って教科書の文章で証明になりますか？

うるさく言えば、a=0の場合と、a<0, b>0の場合の考察も必要ではあるけど、そこはあまりにも簡単なので略してあるのだと思えば、証明になってる。

> ②の証明って高校数学の範囲内でできますか？
簡単。
● 小数点以下n桁目まである有限小数qは(10^n)倍すれば整数になる。
　　(10^n)q = k (kは整数）
だから、
　　q = k/(10^n)

●循環小数pは、小数点以下m桁目から始まる循環節の部分 (10^(1-m))r と、有限小数(あるいは整数)qとの和で表せる。
　　p = q + 10^(1-m))r
rの循環節の長さをnとすると、
　　(10^n)r - r = k (kは整数
だから
　　r = k/((10^n) - 1)
従って
　　p = q + (10^(1-m)) k/((10^n) - 1)
右辺の二つの項はどっちも有理数であり、そして有理数同士の和は有理数。

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/04/06 09:26

①の証明は、教科書の文章で十分な場合が多いです。

一般的には、有理数が整数、有限小数、循環小数のいずれかになることを示すために、分数の約分や有限小数の場合の位取り記数法、循環小数の場合の無限小数の扱いなどを用いた説明が行われます。

②の証明は、高校数学の範囲内でも十分に可能です。具体的には、整数や有限小数が分数で表せることは、分数の定義に基づいて容易に示すことができます。また、循環小数の場合は、有理数であることを示す方法として、小数を10進数表記から分数表記に変換する手法があります。

なぜaとbを正の整数に限定しているかについては、aやbが負の場合でも、それぞれの符号を約分すれば正の整数に帰着できるためです。また、0の場合は分母にできないため、正の整数に限定しています。