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f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、
∫ -(2y)/(x^2 + y^2) dx
= -2 ∫1/(y^2 (x^2/y^2 + 1)) dx
u = x/y として、 du = 1/y dxより、
= -2 ∫1/(u^2 + 1) du
= -2arctan(u) + c
= -2arctan(x/y) + c
という解が得られますが、積分の仕方を以下のように変えると、答えが変わってしまいます。
∫ -(2y)/(x^2 + y^2) dx
= ∫-2y/x^2・1/(1 + y^2/x^2) dx
y/x=t とすると、
=∫-2y/x^2・x^2/-y・1/(1 + t^2)dt
=∫2/(1 + t^2)dt
=2arctan(t) + c
=2arctan(y/x) + c
どちらのやり方も正しいと思うのですが、何故結果が変わるのでしょうか?
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