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曲線x=e^t(cost), y=e^t(sint) (0≦t≦π/2)

のときの曲線の長さを求めたいです。
計算方法が間違っているのか答えにたどりつけません。
解答に解説がないのでどうやって求めたらよいか困っています。

gooドクター

A 回答 (4件)

媒介変数表示による曲線の長さの公式


L=∫[0,π/2]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
を計算するだけ。

dx/dt=(cos(t)-sin(t))e^t
dy/dt=(cos(t)+sin(t))e^t
√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=√{2e^(2t)}=(√2)e^t

L=∫[0,π/2] (√2)(e^t)dt
=(√2){e^(π/2)-1}
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#2です。



式(1)間違いました。ルートが抜けてます。
正しい式と詳しい展開が#3さんにありますので、
そちらを参考にしてください。
申し訳ありませんでした。
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曲線の長さをsとすると、


ds^2=dx^2+dy^2
s=∫[0→π/2]{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt …(1)
(但し[]の中は積分範囲)

dx/dt=e^t(cost-sint)
dy/dt=e^t(sint+cost)
これを式(1)に代入して計算する。
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どういう計算をされたのですか。


問題の解答に解説がなくても本文の方に求め方や例題が載っているはずです。

何の予備知識もなしに求めることは不可能です。

x^2+y^2=e^2t
ですから渦巻状の図形ですね。
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