No.2ベストアンサー
- 回答日時:
二つの整数a,bが互いに素であることとは、aとbの最大公約数が1であることです。
ある整数p,qが存在してpa+qb=1が成り立つこと⇒二つの整数a,bが互いに素であること
aとbの最大公約数をdとおく
d*{p(a/d)+q(b/d)}=pa+qb=1
となって、dは1の約数ゆえに、d=1
したがってaとbが互いに素であることが示された。
二つの整数a,bが互いに素であること
⇒ある整数p,qが存在してpa+qb=1が成り立つこと
整数の集合SをS={kは自然数|k=ma+nb、mとnは整数}とおく。
Sの正の要素のうち最小のものをeとおく
e=sa+tb
ここで、Sの任意の要素kがeで割り切れることを証明する。・・・※
k=eq+r(ただし0≦r<e)と書ける。
0<r<eと仮定する・・・○
r=k-eq=(m-sq)a+(n-tq)b
ですから、○よりrは正のSの要素となるはずであるが、やはり○よりrはeより小さいので、これはSの正の最小の要素がeであることに反する。
したがってr=0となって、※が示された。
a=1*a+0*b、b=0*a+1*bだから、aとbもSの要素である。
※よりaとbもeで割り切れるはずであるが、
e≧2と仮定すると、eがaとbの2以上の公約数となってしまい、aとbが互いに素であることに反する。
したがってe=1
1=sa+tbとなるような整数sとtが存在することが言えました。
この回答へのお礼
お礼日時:2005/04/25 03:09
すごく丁寧な解説をしていただきまして、ありがとうございました。これだけ詳しく解説をしてくださるとすごく理解しやすかったです。
ありがとうございました。
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