A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
#3は、内容はともかく、ツマラン編集ミスをやらかしている。
> Bは分母の平方完成を使って
> x^2 + x + 1 = (3/4)t^2 + 1
> なので、
> t = (2x + 1)/√3
> として
いや、ここは
Bは分母を平方完成するために
t = (2x + 1)/√3
とおけば
dt/dx = 2/√3
x^2 + x + 1 = (3/4)(t^2 + 1)
なので、
とでも書くのが適切だったっす。
No.4
- 回答日時:
微分してみたら、No.3 のほうがあってるねえ。
私の回答には、よくあることだが...
No.2 は、そもそも部分分数分解にミスがあった。
x/(x^2+x+1) = (1/6)(3 + i√3)/(x - (-1+i√3)/2)
+ (1/6)(3 - i√3)/(x - (-1-i√3)/2).
ここを修正すると、
あとは同じ計算で No.2 の結果になる。
No.3
- 回答日時:
あらら。
では#1もやってみよう。∫(x/(x^2 + x + 1))dx = A/2 - B/2
ここに
A = ∫((2x + 1)/(x^2 + x + 1)) dx
B = ∫(1/(x^2 + x + 1)) dx
Aは分母まるごと
s = x^2 + x + 1
として
A = ∫(1/s)ds = log(s) + C₁ = log(x^2 + x + 1) + C₁
Bは分母の平方完成を使って
x^2 + x + 1 = (3/4)t^2 + 1
なので、
t = (2x + 1)/√3
として
B = (2/√3)∫(1/(t^2 + 1)dt = (2/√3)arctan(t) + C₂
= (2/√3)arctan((2x + 1)/√3) + C₂
だから
∫(x/(x^2 + x + 1))dx
= (1/2)log(x^2 + x + 1) - (1/√3)arctan((2x + 1)/√3) + C
ありゃ、#2と微妙に違うか?
No.2
- 回答日時:
ふつーに部分分数分解すれば?
x/(x^2+x+1) = (1/12)(3 + i√3)/(x - (-1+i√3)/2)
+ (1/12)(3 - i√3)/(x - (-1-i√3)/2)
より
∫{ x/(x^2+x+1) }dx = (1/12)(3 + i√3)∫dx/(x - (-1+i√3)/2)
+ (1/12)(3 - i√3)∫dx/(x - (-1-i√3)/2)
= (1/12)(3 + i√3) log(x - (-1+i√3)/2)
+ (1/12)(3 - i√3) log(x - (-1-i√3)/2)
+ C
= (1/4) log{ (x - (-1+i√3)/2)・(x - (-1-i√3)/2) }
+ (i√3/12) log{ (x - (-1+i√3)/2)/(x - (-1-i√3)/2) }
+ C
= (1/4) log(x^2+x+1)
+ (√3/6) arctan( (2x+1)/√3 )
+ C.
(Cは定数)
No.1
- 回答日時:
∫(x/(x^2 + x + 1))dx
かしらん。
分母まるごとをsとすれば ds/dx = 2x + 1 だから分子のxは処理できるね、というわけで被積分関数を
(1/2)(2x + 1)/(x^2 + x + 1) - (1/2)/(x^2 + x + 1)
と分けてそれぞれ積分すると、第2項は分母を a(t^2 + 1) の形にすればOK。
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