∫x²/√(a²-x²) dx の不定積分教えてください。 絶対値をはずすときに絶対値の中の符号を考

∫x²/√(a²-x²) dx の不定積分教えてください。

絶対値をはずすときに絶対値の中の符号を考えてなくて良いのですか？

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2023/07/15 12:13

細かい話になりますが

∫f(x)dx

の不定積分と言ってしまうと、これをさらに積分した

∫{∫f(x)dx}dx

と言う事になってしまうはずです。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/13 19:53

x=asint

dx=acostdt
x^2=a^2(sint)^2

a^2-x^2
=a^2-a^2(sint)^2
=a^2{1-(sint)^2}
=a^2(cost)^2

∫x^2/√(a^2-x^2) dx
=a^2∫(sint)^2 dt
=a^2∫{1-cos(2t)}/2 dt
=a^2{t/2-sin(2t)/4}+C
=a^2{t-sintcost}/2+C
=a^2{arcsin(x/a)-(x/a)√{1-(x/a)^2}}/2+C
=
{(a^2)arcsin(x/a)-x√(a^2-x^2)}/2+C

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/13 19:01

a=0 のとき

　∫-dx=-x+C

a≠0 のとき
　∫{ -(a²-x²)/(a²-x²)+a²/(a²-x²) }dx
　=∫{ -1 dx+a²∫1/(a²-x²) }dx+C・・・・公式
　=-x+a²(1/|a|)tan⁻¹(x/|a|)+C
　=-x+|a|tan⁻¹(x/|a|)+C
　=-x+a tan⁻¹(x/a)+C