合っているか確認してください。物理です

以下の(1)~(12)を求めよ
x 軸上を運動する物体がある。この物体の時刻 t における位置を x(t) とする。この物体の、時刻 t におけるx 方向の加速度が -4x(t)+16 と表されている。この物体は t=0 において原点で静止していた。
x(t) に関する微分方程式d^2x/dt^2=(1)の解を求めるために、定数 k を用いて、X(t)=x(t)+k と置く。X(t) の二階微分が X(t) に比例するように k の値を選ぶと、k=(2)となり、X(t) の微分方程式はd^2X/dt^2=(3)となる。また、この微分方程式の初期条件はX(t=0)=(4)およびdX/dt(t=0)=(5)である。
X(t) の解の形をX(t)=Acos(pt)+Bsin(pt)と仮定して微分方程式と初期条件から解を求めるとA=(6)、B=(7) 、および p=(8)となる。ここからx(t) を求めれば、この物体の運動の範囲は (9)≦x≦(10)であることがわかる。また、速さが最大になるのは物体がx=(11)にある瞬間である。時刻 t=0 以降に最初にこの点を物体が通過する時刻は(12)である。

(1)-4x(t)+16
(2)16
(3)X(t)+16
(4)16
(5)0
(6)分からないです
(7)分からないです
(8)分からないです
(9)0
(10)16
(11)分からないです
(12)16

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/08/16 11:38

＞(1)-4x(t)+16

合っています。
d^2x/dt^2 = a
だからね。

＞(2)16

これは
　a = -4x + 16
を
　X = x + k
に置きかえるのですよ？

＞(3)X(t)+16

(2) を間違えているので、これも間違い。

＞(4)16

(2) を間違えているので、これも間違い。

＞(5)0

合ってます。
ただし、ちゃんと dX/dt と dx/dt の区別はついていますね？

＞(6)分からないです
＞(7)分からないです
＞(8)分からないです

大学生なら「２階斉次微分方程式」の解き方を復習しないといけませんね。
高校生なら、単純に
　X(t)=Acos(pt)+Bsin(pt)
に初期条件を適用するだけです。
　X(0) = A
になりますよ？

X(t) から dX/dt は求められますよね？

＞(9)0
＞(10)16

X(t) = x(t) + k
とおいたのだから
　x(t) = X(t) - k
ですよ？

それを分かって上で解いていますか？

＞(11)分からないです
＞(12)16

この辺は、もう「しどろもどろ」みたいですね。


参考までにやってみれば
(1) a = d^2x/dt^2 = -4x + 16

(2) X(t) = x + k とおけば
　-4x + 16 = -4(x - 4)
なので、x と X が比例するようにするには
　X = x - 4　　　　　　　　①
ですね。

(3) 上のようにおけば
　d^2x/dt^2 = -4X　　　　②

(4) t=0 のとき x=0 なので
　X(0) = -4

(5) t=0 のとき静止していたので
　dx/dt = 0
①より
　dX/dt = dx/dt
なので
　dX/dt(t=0) = 0

(6) 上の (4) の結果から X(0) = A = -4

(7) dX/dt = -Ap*sin(pt) + Bp*cos(pt) なので、(5) の結果より
　dX/dt(t=0) = Bp = 0
p≠0 なので
　B=0

(8) 以上より X(t) の解は
　X(t) = -4cos(pt)　　　　　　③
なので
　dX/dt = 4p*sin(pt)
　d^2X/dt^2 = 4p^2 cos(pt) = -p^2･X
元の微分方程式②と比べれば
　p^2 = 4
なので
　p = ±2
③は偶関数なので p>0 のみで考えてよいので
　p = 2

(9) 以上より③は
　X(t) = -4cos(2t)

①を使って x に戻せば
　x(t) = -4cos(2t) + 4 = 4[1 - cos(2t)]　　　④

-1≦cos(2t)≦1 なので
　0 ≦ 1 - cos(2t) ≦ 2
従って
　0 ≦ x(t) ≦ 8

(10) ④より
　v(t) = dx/dt = 8sin(2t)
なので、速さが最大になるのは、n を任意の整数として
　2t = (1/2)パイ + 2nパイ
のとき。
このとき
　x(t) = -4cos[(1/2)パイ + 2nパイ] + 4 = 4

(11) 時刻 t=0 以降に最初にここを通過するのは n=0 のときで
　2t = (1/2)パイ
→　t = (1/4)パイ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/08/20 19:03

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/16 11:23

他はともかく、(3)が違っているのは痛いな。

何をやっているのかが判ってなくて、計算が合うはずがない。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/08/16 10:40

合っているのは(1), (5), (9)のみ。