代数

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質問者：tinnkoff
質問日時：2023/08/05 23:38
回答数：1件

有理整数環と整数環の違いを教えて頂きたいよろしくお願いします

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No.1

回答者： PerlLearner1
回答日時：2023/08/09 12:54

有理整数環と整数環は、抽象代数学の概念であり、整数に関連する代数的構造を表すものです。

以下にそれぞれの違いを説明します。

整数環（Ring of Integers）:
整数環は、整数の集合を加法と乗法に関して閉じた代数的構造を持つものです。具体的には、整数環は以下の性質を持ちます。

加法と乗法に関する閉じた性質: 整数環内の任意の整数に対して、その和と積も再び整数となります。
加法の単位元: 整数環における加法の単位元は0です。
乗法の単位元: 整数環における乗法の単位元は1です。
分配法則: 整数環において加法と乗法の間に分配法則が成り立ちます。

有理整数環（Ring of Rational Integers）:
有理整数環は、整数環の一般化であり、整数に加えて有理数（整数の比として表される数）も含む代数的構造を持つものです。つまり、有理整数環は整数環の拡張です。具体的には、有理整数環は以下の性質を持ちます。

加法と乗法に関する閉じた性質: 有理整数環内の任意の整数や有理数に対して、その和と積も再び有理数となります。
整数環の部分集合: 整数環は有理整数環の一部です。すなわち、整数は有理整数であると言えます。
分配法則: 有理整数環において加法と乗法の間に分配法則が成り立ちます。
要するに、有理整数環は整数環を包含し、整数と有理数の両方を含む代数的構造です。整数環は整数だけを含む代数的構造です。