数学の問題の式についてです。 なぜ以下の操作で最後の式に元のX＝3＋√3ｉ/2を代入するとイコール0

数学の問題の式についてです。
なぜ以下の操作で最後の式に元のX＝3＋√3ｉ/2を代入するとイコール0になるかが不思議です。
どなたか教えていただけませんでしょうか。

No.9 回答者： windwald 回答日時： 2023/08/18 20:05

x=3+√3i/2 を代入しても x^2-3x+3=0 とはなりません。

解説文が読めていないようです。
x=(3+√3i)/2 を代入したとき x^2-3x+3=0 となります。

これは実際に代入して計算してみれば良いだけのことですね。
x^2-3x+3={(3+√3i)/2}^2-3(3+√3i)/2+3
=(9+6√3i－3)/4-(9+3√3i)/2+3
＝(6+6√3i)/4-(9+3√3i)/2+3
=(3+3√3i)/2-(9+3√3i)/2+3
=3/2+3√3i/2-9/2-3√3i/2+3
＝3√3i/2-3√3i/2+3/2-9/2+3
＝0-6/2+3
＝-3+3
=0

でも解説はそんな面倒な計算はして無くて、x=(3+√3i)/2 ならば式変形すると 2x-3=√3i となって、両辺を平方して 4x^2-12x+9=-3 より 4x^2-12x+12=0。この両辺を4で割って
x^2-3x+3=0 を出しています。

No.8 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/14 18:53

等式の両辺を2乗しても=が成立つから。

2x-2=√3･iの両辺を2乗るセーヨ。
後は移項する。

1から算数をやり直す。

No.7 回答者： finalbento 回答日時： 2023/08/14 18:28

要するに二次方程式を解くプロセスを逆に書いただけです。

スタートの式が等式ですから、それを変形してできる式も当然等式です。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/08/14 15:11

パソコンでは √3i は √(3i) と間違い易いので、i√3 と書きます。

x=(3+i√3)/2 ・・・両辺を 2倍します、
2x=3+i√3 ・・・ 右辺の 3 を 左辺に移項して、
2x-3=i√3 ・・・両辺を 2乗して、
(2x-3)²=(i√3)² ・・・計算して、
4x²-12x+9=-3 ・・・右辺の -3 を 左辺に移項して、
4x²-12x+12=0 ・・・両辺を 4 で割って、
x²-3x-3=0 。

＞代入するとイコール0になる

そうではなく、右辺を 全部左辺に 移項するので 右辺は 0 になります。

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/14 11:44

(3+√3i)/2 の共役　　→

(3+√3i)/2 の共役複素数は(3-√3i)/2 だから！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/08/14 11:41

(3+√3i)/2 の共役 も　最後の2次式の解になるから

解と係数の関係より
α+β=(3+√3i)/2 +(3-√3i)/2 =3 ..............(1)
α・β=(3+√3i)/2 ・(3-√3i)/2 =(3^2 - {√3i)^2})/4=(9+3)/4=3 ..........(2)
よって
求める2次式=0 は
x^2 -(α+β)x+α・β =x^2 -(1)x+(2)=x^2 -3x +3 =0
と回答としてはいいとはいえないが理解してもらえると思う。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/14 09:36

No.1 です。

「同値変形」という意味では
２行目以降を満たすのは、
　2x - 3 = ±(√3)i
なので、３行目の
　x^2 - 3x + 3 = 0
の解は
　x = [3 ± (√3)i]/2
ということになります。

つまり、お示しの画像では
上→下はその通りですが、
下→上では
　x = [3 ± (√3)i]/2
ということになります。

「２乗する」ことの逆の操作では「±」が出てきます。
質問者さんが「不思議だ」と思うのはそういうことですか？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/14 06:31

図の通り

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/14 00:25

１行目を2乗して2行目。

2行目の係数を整理して（4で割って）3行目。
すべて「同値変換」です。


当然ながら、代入してもそうなります。
　x^2 = [9 + (6√3)i - 3]/4 = [3 + (3√3)i]/2
　3x = [9 + (3√3)i]/2
よって
　x^2 - 3x = -3

何が疑問で、何を確認したいのですか？