写真の数学について 1-x^2≧0 (1+x)(1-x)≧0 -1≧x x≧1 不等号の向きから脳死

写真の数学について


1-x^2≧0
(1+x)(1-x)≧0
-1≧x x≧1

不等号の向きから脳死で解いていたのですが、駄目みたいですね。どうやって判断すればよいのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/23 16:11

x^2の係数を正にするよう変形すればよい

1-x^2≧0
↓両辺にx^2-1を加えると
0≧x^2-1
↓左右を入れ替えると
x^2-1≦0
(x+1)(x-1)≦0
∴
-1≦x≦1

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/24 14:44

前半は、1-x^2 = (1+x)(1-x) という因数分解ですね。

これによって x = ±1 が 1-x^2 = 0 の成り立つ点だと判ります。
1-x^2 は x の連続関数なので、中間値定理より、
1-x^2 の値が正になる領域と負になる領域は x = ±1 で区切られる
ことが判ります。

後は、-∞ < x < -1 と -1 < x < 1 と 1 < x < +∞ のうちの
どれが 1-x^2 > 0 の解に含まれ、どれが含まれないか
を考えるだけです。
x = -100, 0, +100 の 3個でも 1-x^2 へ代入してみましょうか。

No.5 回答者： AっKI 回答日時： 2023/08/23 23:21

どなたかがおっしゃっている

『グラフを描く』がいいと思います。

あなたが機械的にやっているのは
「グラフが下に凸の場合」の求め方です。
これが全く意識からなくしていると
こういった問題のときにひっかかるわけです。

これも他回答者が言われている
「二次の係数をブラスにして考える」
というのも結局は「グラフが下に凸になるようにして考えろ」
ということなので、同じことです。

「グラフを描け」あるいは「グラフをイメージして考える」
というのはこれを意識するという意味で効果的です。
また、「グラフを描く」というのは、最大値、最小値など
有効な場面が多いので、こういう癖をつけておくことは大切です。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/08/23 14:10

2数を掛け算して正(プラス)になるのは2パターンしか無いよ。

正×正=正
負×負=正
これだけ

(1+x)(1-x)≧0を当てはめる。

正×正の場合
1+x≧0　かつ　1-x≧0

1+x≧0からは⇒ x≧-1
1-x≧0からは⇒ 1≧x
纏めると、-1 ≦ x ≦ 1

負×負の場合
1+x≦0　かつ　1-x≦0

1+x≦0からは⇒ x≦-1
1-x≦0からは⇒ 1≦x
この両方を満たすxは無いから、負×負では解が無い。

なので、-1 ≦ x ≦ 1が答。

下図の様に書いて見たら？
上が正×正の場合で、かつ　で重なってる部分が緑
下は負×負の場合で、かつ　で重なってる部分が無い

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/08/23 12:36

y=1-x^2

のグラフを考えればよい。
x^2の項の係数が負だから上に凸の放物線になります。
y≧0の部分はx軸よりも上(x軸上を含む)なのでx軸との二つの交点の間の領域になるのがわかるでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/23 12:20

＞(1+x)(1-x)≧0　　　　①

-(x + 1)(x - 1) ≧ 0

だから

　(x + 1)(x - 1) ≦ 0

だよ。


別解として、①が成立するためには
「(1+x) と (1-x) は同符号」
でなければいけないので、

(i) 1 + x ≧ 0 かつ 1 - x ≧ 0
→　-1 ≦ x ≦ 1

または
(ii) 1 + x ≦ 0 かつ 1 - x ≦ 0
→　これを満たす x は存在しない。

としてもよいけれど。

「脳死」では何の応用もできない。