図形と計量 tanA/2 について

AB = 5、BC = 4、CA = 3の△ABCがある。
このとき、tanA/2 = ？？？ である。

上記の問題で、BC = a, CA = b, AB = c としたとき、
c^2 = a^2 + b^2 が成立するので、∠C = 90°

よって、tanA = a/b = 4/3 なので、tanA/2 = 4/3 / 1/2 = 4/3 * 2 = 8/3
従って tanA/2 = 8/3 だと思ったのですが、答えは 1/2 。

解答は内角の二等分線の性質を使った計算がされていましたが、なぜそうなるのかよく分かりません。

tan は 高さ/底辺 なので、tanθ/2 = 高さ/底辺 / 2 ⇒ 高さ/底辺 * 2 ではないんでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/09/09 12:25

角の２等分線を使う問題なので、多分、tan（A/2）です。

tanの値をそのまま半分にするか、
角度を半分にしてからtanを取るかで値は全く違います。

例えば、
tan60°＝√３、tan30°＝1/√３ ですが、
(tan60°)/2＝√３/２ となります。


今回の問題は角度を半分にしたときのtanを求めます。

この回答へのお礼

A/2 ⇒ 半角なので内角の二等分線の性質を利用するということですね。
やっと意味が分かりました。

お礼日時：2023/09/09 12:44

No.7 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/09/09 15:49

問題文が悪いのかな。

＞tan は 高さ/底辺 なので、tanθ/2 = 高さ/底辺 / 2 ⇒ 高さ/底辺 * 2 ではないんでしょうか？

(tanθ)/2ならその通り。でもここは tan(θ/2)を問う問題なのでは？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/09 15:07

no5 です。

ミスタイプがありました。
ごめんなさい、下記の様に訂正します。
7行目。
【誤】元の高さ 4 の 3/5 で 1.5 になりますね。
【正】元の高さ 4 の 3/(5+3) で 1.5 になりますね。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/09 15:01

tanθ/2 の解釈の違いです。

例えば、θ=60° とします。
tan(θ/2)=tan30°=1/√3≒0.577 。
(tanθ)/2=(tan60°)/2=(√3)/2≒0.866 。

質問の場合、tan(θ/2) ですよね。
ですから 高さ/底辺 で 高さは 元の 1/2 の 2 ではなく、
元の高さ 4 の 3/5 で 1.5 になりますね。
つまり tan(θ/2)=1.5/3=1/2 です。

少し丁寧な 図を書いてみると 分かり易いでしょう。

この回答へのお礼

分数の計算違いは後から気付きました。
そもそも元の計算ミスがあったというまぬけっぷりｗ
ご丁寧に解説していただきありがとうございます。

お礼日時：2023/09/09 16:20

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/09 13:32

三角関数知らんのだな。

tan60°なら、tan60°=(√3)/2で、(tan60°)/2=(√3)/4
tan(60°/2)ならtan30°=(√3)/3だ！

角度がn倍なら、三角関数値もn倍になると思ってるなら落第だよ。

No.3 回答者： fxq11011 回答日時： 2023/09/09 13:15

あなたのパソコン表記では正確な問題文の想定が不可能です。

＞tanA/2 = 4/3 / 1/2 = 4/3 * 2 = 8/3
これがそもそも２つの間違いを含みます
4/3 * 2 = 8/3になるのは(4/3) * 2 = 8/3
＞tanA/2 = 4/3 / 1/2、こうなるのはtanAの値の1/2とと理解した場合です
（tanA)/2 = と表記されていればそういうことになります
問題はtan（A/2）なんでしょう。
その三角形のタンジェントの計算に使用するときの角度の1/2の角度のタンジェントを求めるのが問題なんです。

解答は内角の二等分線の性質を使った計算
だから正解はこんな内容になります
内角の2等分線は対辺を、その侠角を作る線分の比で分割する。
あとはご自分で計算してみてね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/09/09 12:28

A が鋭角なのに, なんで角度が小さくなって tan は大きくなる?

実際に描いてみたら, 少なくともそこはおかしいって気付くはず.

この回答へのお礼

本当ですねｗ
数値のイメージが出来てませんでした。あと、A/2 ⇒ 半角 という事に今気付きました。

お礼日時：2023/09/09 12:42