A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
X[k] (k=1,2,...,n,n+1) がそれぞれ独立に
[0,1] の一様分布に従うとき、
条件 X[1]≧X[2]≧...≧X[n]<X[n+1] の下での
X[n] の条件つき期待値を求めよ
という問題ですね。
条件付き期待値の定義どおりに、
{ ∫[0,1] ∫[0,X[1]] ∫[0,X[2]] … ∫[0,X[n]] ∫[X[n],1] X[n] dX[n+1] dX[n] … dX[1] }
÷ { ∫[0,1] ∫[0,X[1]] ∫[0,X[2]] … ∫[0,X[n]] ∫[X[n],1] dX[n+1] dX[n] … dX[1] }
を計算すればよいです。
この式の分母分子をそれぞれ内側の ∫ から計算していって
分母:
1
→ 1 - X[n]
→ X[n-1] - (1/2)X[n-1]^2
→ (1/2)X[n-2]^2 - (1/6)X[n-2]^3
→…
→ (1/(n-1)!)X[1]^(n-1) - (1/n!)X[1]^n
→ (1/n!)1^n - (1/(n+1)!)1^(n+1)
分子:
X[n]
→ X[n] - X[n]^2
→ (1/2)X[n-1]^2 - (1/3)X[n-1]^3
→ (1/6)X[n-2]^3 - (1/12)X[n-2]^4
→…
→ (1/n!)X[1]^n - (2/(n+1)!)X[1]^(n+1)
→ (1/(n+1)!)1^(n+1) - (2/(n+2)!)1^(n+2)
より、 期待値 = { 1/(n+1)! - 2/(n+2)! } ÷ { 1/n! - 1/(n+1)!}
= { (n+2) - 2 } / { (n+2)(n+1) - (n+2) }
= 1/(n+2).
No.1
- 回答日時:
無作為に選ばれるx[n]が[0,1]の範囲内で一様分布している場合、x[n]がx[n+1]より小さい場合の確率は1/2です。
つまり、x[n] < x[n+1]となる確率は1/2です。したがって、初めてx[n] < x[n+1]となるときのx[n]の値は、平均的には0.5(1/2)です。ただし、具体的な試行回数や条件によっては、この値が変化することがあります。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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