場合の数、確率 51 京都大学 動点の確率

本題

例えば、５のとき

5回で終了するということは

(1)4回までの試行で、A₂にいて、5回目に表が出る場合
(2)4回までの試行で、A₄にいて、5回目に裏が出る場合
の2通

(1)4回までの試行で、A₂になる場合は、表3回,裏1回が出れば良いが
1回目の試行から、3連続「表」の場合、終了してしまうので
(表,表,裏,表),(表,裏,表,表),(裏,表,表,表)
の3通
だから
4回までの試行で、A₂にいて、5回目に表が出て終了する確率
{3*(1/2)⁴}*(1/2)=3/32

(2)4回までの試行で、A₄にいて、5回目に裏が出る場合
も(1)の表と裏が全く逆の場合なので確率は同じ


以上から
5日目で終了する確率=2*(3/32)=3/16…答


以下問題

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https://imgur.com/a/YrP87ny

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質問者からの補足コメント

• 

  誤植
  
  Á［ｎ］の反対側でなく、Ａ［０］です

    補足日時：2023/09/21 13:19

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/21 21:52

正6角形の頂点を反時計回りの順にA0,A1,…,A5とする

①A0を出発点とする
②コインを投げ表が出たら反時計回りに隣りの頂点に移動し,
裏が出たら時計回りに隣りの頂点に移動する
③A0の反対側の頂点A3に到達したらゲームは終了する

整数n(n≧0)に対して
p[n]:(2n+1)回コインを投げ移動を行ってもゲームの終了しない確率
q[n]:ちょうど(2n+1)回目の移動によってゲームの終了する確率

奇数(2n+1)回コインを投げ移動を行ったとき
A1,A3,A5
のいずれかに移動する

a[n]:(2n+1)回コインを投げA1に移動する確率
b[n]:(2n+1)回コインを投げA5に移動する確率
とすると
p[n]=a[n]+b[n]

1回コインを投げ表が出たらA1,裏が出たらA5に移動しゲームは終了しないから
p[0]=1
q[0]=0
(2n+3)回コインを投げ移動を行ってもゲームの終了しない場合は次の6通りだから

(2n+1)回目A1→(2n+2)回目A0→(2n+3)回目A1…a[n]*(1/2)*(1/2)=a[n]/4
(2n+1)回目A1→(2n+2)回目A2→(2n+3)回目A1…a[n]*(1/2)*(1/2)=a[n]/4
(2n+1)回目A1→(2n+2)回目A0→(2n+3)回目A5…a[n]*(1/2)*(1/2)=a[n]/4
(2n+1)回目A5→(2n+2)回目A0→(2n+3)回目A1…b[n]*(1/2)*(1/2)=b[n]/4
(2n+1)回目A5→(2n+2)回目A0→(2n+3)回目A5…b[n]*(1/2)*(1/2)=b[n]/4
(2n+1)回目A5→(2n+2)回目A4→(2n+3)回目A5…b[n]*(1/2)*(1/2)=b[n]/4

p[n+1]=a[n](3/4)+b[n](3/4)=(a[n]+b[n])(3/4)=p[n](3/4)
だから

p[n]=(3/4)^n

ちょうど(2n+3)回目の移動によってゲームの終了する場合は次の2通りだから
(2n+1)回目A1→(2n+2)回目A2→(2n+3)回目A3…a[n]*(1/2)*(1/2)=a[n]/4
(2n+1)回目A5→(2n+2)回目A4→(2n+3)回目A3…a[n]*(1/2)*(1/2)=b[n]/4

q[n+1]=a[n]/4+b[n]/4=(a[n]+b[n])/4=p[n]/4=(3^n)/4^(n+1)

∴
p[n]=(3/4)^n

q[0]=0, n≧1のとき q[n]=3^(n-1)/4^n

この回答へのお礼

教授
こんにちは


ご回答ありがとうございました

私も答案を作成しました

以下答案

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https://imgur.com/a/LL7bMyy

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from minamino

お礼日時：2023/09/22 15:52