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写真の赤線部についてですが、なぜ積分範囲は0〜1なのに、k=1〜nとなるのですか?積分範囲が0からなのに、k=0〜nとならないのはなぜでしょうか?

「写真の赤線部についてですが、なぜ積分範囲」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか?

      補足日時:2023/10/06 13:50

A 回答 (9件)

誤字まだまだあった。

全面書き直し:

図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう?
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=1..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + 0
だから
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x).

∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。
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すまん。

誤字訂正:

lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=1..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + 0
だから
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> 赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)


> と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか?

むしろ、それを考えることが、区分旧積法の根拠となる。
図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう?
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=0..n-1]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + 0
だから
(1/n)Σ[k=1..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=1..n]f(x).

∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。
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No.4 です。

「補足」について。

>赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか?

はい。そうです。

積分区間が A~B を n 分割して、k = 0~(n - 1) なら、長方形の短冊の面積は
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「左側」の高さ)
で求めることになります。

つまり
k = 1~n なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「右側」の高さ)

k = 0~(n - 1) なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「左側」の高さ)

で各区間の短冊(長方形)の面積を表わすわけで、どちらも同じ式になっているでしょ?
そして、n → ∞ にすればどちらも同じなのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
長方形の面積がどちらも同じ式であることから、k=0〜n-1,k=1〜nのどちらを代入しても、結局n個の長方形を表すのに変わりはないから、(n→∞では)同じ意味ということですね。

お礼日時:2023/10/06 17:07

図をよく見て



細長い長方形は、右上の頂点が
y=f(x)のグラフと一致しているはずだ。
つまり各長方形の高さがf(k/n)なのです。
だからk=1からnまでの和になる。

k=0からn-1にしたいなら
長方形の左上の頂点をy=f(x)と一致させればよい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
長方形の縦の長さを左の辺か、右の辺どちらを基準に取るかの違いですね

お礼日時:2023/10/06 17:05

「1区分」の長方形の面積を


・幅:1/n (1区間の横幅)
・高さ:f(k/n) (長方形の「右側」の高さ)
で計算していることが分かりませんか?
最初の長方形の「高さ」は
 f(0/n) = f(0)
ではなくて
 f(1/n)
です。
そして、最後の(n 個めの)長方形の高さは
 f(n/n) = f(1)
です。

積分区間が A~B なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「右側」の高さ)
ということになります。
最初の長方形の高さは
 f(A)
ではなく
 f(A + (B - A)/n)
です。

そういう「短冊の区切り方と、長方形の面積」にしているのです。
「区分求積法」の意味が全く分かってないみたいですね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。全て長方形の高さは右側を基準にしているのですね

お礼日時:2023/10/06 13:45

「植木算」って言っても、今時の人は聞いたことないかな?


道端に等間隔で木を植えるとき、
木と木の間隔が n 個なら木の本数は n+1 本。
道の両端があるからね。
写真の柱状グラフで柱の数が n 本に対し、
柱と柱のつなぎ目の点が 0,1,2,...,n の計 n+1 個なのは
植木の話と対応している。
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0~1の範囲を、小さな長方形がn個並ぶように切ってるから。


だから長方形n個を足す。
1個目、2個目、3個目と数えればn個目までは1~nだよ。

積分範囲が2~3なら、k=2~nにするのかい??
n個に分けてるんだから、1個目、2個目、3個目・・・n個目だろ?
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0から1を無限に分けて面積を足していったものが、積分値=実際の面積と同じになるって話です。

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