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A 回答 (9件)
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No.9
- 回答日時:
誤字まだまだあった。
全面書き直し:図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう?
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=1..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + 0
だから
lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x).
∫f(x)dx = lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。
No.8
- 回答日時:
すまん。
誤字訂正:lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=1..n]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x) + 0
だから
No.7
- 回答日時:
> 赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)
> と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか?
むしろ、それを考えることが、区分旧積法の根拠となる。
図のように f(x) が単調増加であれば、
(1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x) が成り立つ。
図でも、面積の大小がそうなっているでしょう?
この式で n→∞ の極限をとると
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ lim[n→∞](1/n)Σ[k=1..n]f(x)
だが、
lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) = lim[n→∞](1/n){Σ[k=0..n-1]f(x) - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + lim[n→∞](1/n){ - f(0) + f(n) }
= lim[n→∞](1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) + 0
だから
(1/n)Σ[k=1..n]f(x) ≦ ∫f(x)dx ≦ (1/n)Σ[k=1..n]f(x)
となって、すなわち
∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=1..n]f(x).
∫f(x)dx = (1/n)Σ[k=0..n-1]f(x) も全く同様に示せる。
No.6
- 回答日時:
No.4 です。
「補足」について。>赤線部の式の、k=1をk=0に、nをn-1(つまりkの範囲を0〜n-1)と書き換えても、同じ意味になるのでしょうか?
はい。そうです。
積分区間が A~B を n 分割して、k = 0~(n - 1) なら、長方形の短冊の面積は
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「左側」の高さ)
で求めることになります。
つまり
k = 1~n なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「右側」の高さ)
k = 0~(n - 1) なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「左側」の高さ)
で各区間の短冊(長方形)の面積を表わすわけで、どちらも同じ式になっているでしょ?
そして、n → ∞ にすればどちらも同じなのです。
この回答へのお礼
お礼日時:2023/10/06 17:07
回答ありがとうございます。
長方形の面積がどちらも同じ式であることから、k=0〜n-1,k=1〜nのどちらを代入しても、結局n個の長方形を表すのに変わりはないから、(n→∞では)同じ意味ということですね。
No.5
- 回答日時:
図をよく見て
細長い長方形は、右上の頂点が
y=f(x)のグラフと一致しているはずだ。
つまり各長方形の高さがf(k/n)なのです。
だからk=1からnまでの和になる。
k=0からn-1にしたいなら
長方形の左上の頂点をy=f(x)と一致させればよい。
No.4
- 回答日時:
「1区分」の長方形の面積を
・幅:1/n (1区間の横幅)
・高さ:f(k/n) (長方形の「右側」の高さ)
で計算していることが分かりませんか?
最初の長方形の「高さ」は
f(0/n) = f(0)
ではなくて
f(1/n)
です。
そして、最後の(n 個めの)長方形の高さは
f(n/n) = f(1)
です。
積分区間が A~B なら
・幅:(B - A)/n (1区間の横幅)
・高さ:f(A + (B - A)k/n) (長方形の「右側」の高さ)
ということになります。
最初の長方形の高さは
f(A)
ではなく
f(A + (B - A)/n)
です。
そういう「短冊の区切り方と、長方形の面積」にしているのです。
「区分求積法」の意味が全く分かってないみたいですね。
No.3
- 回答日時:
「植木算」って言っても、今時の人は聞いたことないかな?
道端に等間隔で木を植えるとき、
木と木の間隔が n 個なら木の本数は n+1 本。
道の両端があるからね。
写真の柱状グラフで柱の数が n 本に対し、
柱と柱のつなぎ目の点が 0,1,2,...,n の計 n+1 個なのは
植木の話と対応している。
No.2
- 回答日時:
0~1の範囲を、小さな長方形がn個並ぶように切ってるから。
だから長方形n個を足す。
1個目、2個目、3個目と数えればn個目までは1~nだよ。
積分範囲が2~3なら、k=2~nにするのかい??
n個に分けてるんだから、1個目、2個目、3個目・・・n個目だろ?
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