整数問題

このYouTuberさんの解説は見ないでやっております。


やってみたんですが途中で行き詰ってしまいました。
MODを利用してa,b,cは全て偶数（多分）

でa=2A,b=2B、c=2C。（A,B,Cは１以上）として因数分解をして
(5^C+3^A)(5^C-3^A)=2^2B　　左辺の因数は１以上ですから


5^C+3^A
5^C-3^A

上記の２式が２のみの因数のみをもつ。
まではやってみたんですが、ここから全く分かりません。

質問
①ここまではあっているか
②この方法で回答までいけるのか？
③できるなら解法をしりたい。


①、②、③のどれかだけでもわかる方いたら教えてください。

※私は受験生ではありません

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/08 17:30

3^a+4^b=5^c…(0)

3^a=0(mod3)
4^b=(3+1)^b=1(mod3)
だから
5^c=3^a+4^b=1(mod3)
c=1(mod2)と仮定すると
c=2k+1となる整数kがある
5^c=5^(2k+1)=5(25^k)=(3+2)(3*8+1)^k=2(mod3)
となって5^c=1(mod3)に矛盾するから
c=0(mod2)
c=2Cとなる整数Cがある

4^b=0(mod4)
5^c=(4+1)^c=1(mod4)
だから
3^a=5^c-4^b=1(mod4)
a=1(mod2)と仮定すると
a=2k+1となる整数kがある
3^a=3^(2k+1)=3(9^k)=3(4*2+1)^k=3(mod4)
となって3^a=1(mod4)に矛盾するから
a=0(mod2)
a=2Aとなる整数Aがある

3^(2A)+4^b=5^(2C)
4^b=5^(2C)-3^(2A)
4^b=(5^C+3^A)(5^C-3^A)

(5^C+3^A)(5^C-3^A)=4^b

(5^C+3^A)(5^C-3^A)=2^(2b)
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①右辺は 2^2B ではなく　2^(2b)です
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以下は動画の通り
5^C+3^A=2^s…(1)
5^C-3^A=2^t…(2)
s+t=2b…(3)
s>t…(4)
となる整数s,tがある
(1)から(2)を引くと
2*3^A=2^s-2^t
↓両辺を2で割ると
3^A=2^(s-1)-2^(t-1)
3^A=2^(t-1){2^(s-t)-1}…(5)
左辺が奇数だから右辺も奇数
2^(t-1)が奇数
t-1=0
t=1…(6)
↓これを(3)に代入すると
s+1=2b
s=2b-1
↓これと(6)を(5)に代入すると
3^A=2^(2b-2)-1
3^A=(2^{b-1})^2-1
3^A=(2^{b-1}+1)(2^{b-1}-1)
3^x=2^{b-1}+1…(7)
3^y=2^{b-1}-1…(8)
x+y=A…(9)
x>y
となる整数x,yがある
(7)から(8)を引くと
3^x-3^y=2
3^y(3^{x-y}-1)=2…(10)
右辺は3の倍数でないから左辺も3の倍数でないから
3^yは3の倍数でないから
y=0…(11)
↓これを(10)に代入すると
3^x-1=2
3^x=3
x=1
↓これと(11)を(9)に代入すると
A=1
↓a=2Aだから
a=2…(12)

(11)を(8)に代入すると
1=2^{b-1}-1
2=2^{b-1}
b-1=1
b=2
↓これと(12)を(0)に代入すると
3^2+4^2=5^c
9+16=5^c
25=5^c
c=2
∴
a=b=c=2

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/08 10:22

①そこまでは動画どおりの方針ですね。

②そこから先に、少しブレークスルーが要ります。
　動画では、No.1 の方法をとっています。
③動画を見たら？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/07 21:26

5^C + 3^A = 2^x, 5^C - 3^A = 2^y とおいて, 辺々足して 2 で割るとか?

ところで
(5^C+3^A)(5^C-3^A)=2^2B
ってあってる?