なぜ積分で、上の式から下の式を引くと面積が求まるのでしょうか？ただ関数を引いてるだけなのに…と疑問に

なぜ積分で、上の式から下の式を引くと面積が求まるのでしょうか？ただ関数を引いてるだけなのに…と疑問に思いました

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/13 11:09

例えば

横の長さa
縦の長さb
の長方形があって
上の式をf(x)=b
下の式をg(x)=0
とすると
上の式から下の式を引いただけでは
f(x)-g(x)=b-0=b
と縦の長さbとなるだけで面積は求まりません

上の式から下の式を引いたものを
0～a(横の長さ)まで積分すると
∫_{0～a}(f(x)-g(x))dx
=∫_{0～a}(b-0)dx
=∫_{0～a}bdx
=[bx]_{0～a}
=ab

と面積abが求まるのです

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/11 22:29

もしかして、 y=f(x) と y=g(x) が囲う領域の面積は

∫{ f(x) - g(x) }dx だって話してる？
x 軸に垂直な割線で目的の領域を切った断面の長さ
を x で積分すると、領域の面積になる。
なぜって、それがほぼ「積分」の定義だから。
だから、本来は∫| f(x) - g(x) |dx が面積なんだけど、
y=f(x) が「上の式」, y=g(x) が「下の式」ってことは
f(x) > g(x) なんだろうから、 | f(x) - g(x) | = f(x) - g(x) になってる。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/11 20:12

「上の式から下の式を引く」とか「関数を引いてる」とかって, どういうことをいっているんだろうか.

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/11 19:57

積分の最初に出てくる「区分求積法」を思い出しましょう。

最初は「x 軸との間に挟まれた面積」を求めると思いますが、これは「下の式」を
　y = 0　（x軸）
としているに過ぎません。

「下」が「x 軸」ではなく別の関数であれば、その「２つの関数の差」を区分求積していくのが「区分求積」です。
（ただし、一般の「積分」では、上下が逆転すれば「２つの関数の差」が「マイナス」になるので単純な「面積」ではなく「マイナスの面積もあり」ということになります）

No.2 回答者： taunamlz 回答日時： 2023/10/11 16:21

積分した式に値を代入すると、0からその値までの面積が求められます。

ですから、大きい方の面積から小さい方の面積を引き算すると、指定した範囲の面積が求められます。

簡単な計算で考えてみましょう。

y=4x
のグラフがあり、Xが３～５の間の面積を求めるとします。

まずはXが０～５の三角形の面積を求めます。
底辺＝5
高さ＝5*4
面積＝5*5*4/2＝50

次に、Xが０～３の三角形の面積を求めます。
底辺＝3
高さ＝3*4
面積＝2*3*4/2＝18

2つの三角形の差がXが３～５の間の面積です。
50-18＝32

積分しても同じ数字が出てきます。
4xの積分は2x^2です。
2*5^2 - 2*3^2 = 50-18 = 32
です。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/10/11 16:09

下の式は引いているのではなく、右から左に積分しているんです。

それなら、一周している事になるのが理解できますよね。