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フェルマーの最終定理は知る人ぞ知る数学の難問題の一つでしょう。1990年代に証明されましたが、その証明自体が難解で、当時、世界でも数人しか理解できないと言われました。現在でもその事情はそれほど変わっていないのではないでしょうか?最近、数学の重要な定理の幾つかが、高校数学レベルの方法で証明されたという報道を知り、フェルマーの最終定理も、高校数学か大学数学の1年生レベルで証明する方法はないのだろうか?という疑問が湧き起こりました。ネットで一通り調べてみたのですが、見付けられません。或いは、まだ、出ていないか、それとも、そんな方法はないのか?
何か、より容易な証明方法はないでしょうか?
一個だけ、記憶の中にある証明らしき説のアウトラインを記憶から引っ張り出して示しておこうと思います。ただし詳細は不明。
 
フェルマーの最終定理:X^n+Y^n=Z^nを満たす自然数X,Y,Zの組はn≧3の自然数nでは存在しない。
n=1と2では、無数に存在する。しかし、n=1に比べ、2の場合、解となるX,Y,Zの組の分布を数直線上にプロットすると、その密度は小さくなる。一般に、nが大きくなるほど、ある任意の一定のΔn内において解X,Y,Zが見いだされる確率は小さくなると考えられる。そして、n=3では、すでにその確率は0であり、確率は小さくなることはあっても大きくなることはないのだから、4以降も0となる。

以上です。アウトラインとしても、杜撰なものですし、この説の真偽を問うているわけではありません。知りたいのは、この説明が理解できる程度の理解力か、少しだけ高度になる程度の理解力でわかるレベルの証明、厳密にやると難しくなるけれど、概要だけならまず、誰にでも分かる証明がないだろうか?ということです。

A 回答 (4件)

フェルマーの最終定理の n=4 の場合の証明



x^4+y^4=z^2
を満たす自然数 (x,y,z) が存在すると仮定する。
そのような (x,y,z) の組で
z が最小のものについて考える。
すると,
(x^2,y^2,z) の最大公約数は 1 となる
(最大公約数が d なら両辺を d^2で割ることでより z の小さい解を作れる)
(x^2,y^2,z) は最大公約数が1であるピタゴラス数なので,
互いに素な自然数
p,q を用いて以下のように表せる:

x^2=p^2−q^2
y^2=2pq
z=p^2+q^2

よって,1つ目の式から
x^2+q^2=p^2
となるので,
(x,q,p) もピタゴラス数となる。そして,
(x,q,p) の最大公約数は 1 となる(理由:最大公約数が
d≧2 なら
(x^2,y^2,z) がすべて d の倍数になってしまい,
(x^2 ,y^2,z) の最大公約数が 1 であることに矛盾)

よって,同様に,自然数
r,s を用いて以下のように表せる:

x=r^2−s^2
q=2rs
p=r^2 +s^2 ⋯(1)

以上の方程式から,

y^2 =2pq=4prs

p,r,s はどの2つをとっても互いに素なので,それぞれ平方数となる:

p=a^2
r=b^2
s=c^2

これらと(1)を合わせて,

a^2=b^4 +c^4
となりもとの方程式の新しい解を得られたが,
a≦p≦p^2<z
より,
これは z の最小性に矛盾
する
から

x^4+y^4=z^2 を満たす自然数が存在しない
から
x^4+y^4=z^4 を満たす自然数が存在しない
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350年もの間、世界中の数学者が考えてきて、


今のところワイルズの証明のような長大なものしか
見つかってないんだけど、
それでも初等的な証明があるだろうと思うの?
まあ「簡単な証明は無い」って証明もされてないけどさ。
あると思うのなら、君が発見したらいいよ。頑張ってね。
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そういう証明があるならとっくに知れ渡ってるでしょ。


関係者がみんな知りたがってることだし、学者は論文を書いて発表するのが仕事なんだし。
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この手の質問は



◇◇◇ 初等数学によるフェルマーの最終定理の証明 ◇◇◇
で有名な、日高大センセーが大活躍している

  https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/16963 …

に投稿したほうがいいと思う。
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