確率の問題を解説していただきたいです。 a,b,c,d ４つの部屋があります。 aから外に出る確率は

確率の問題を解説していただきたいです。
a,b,c,d ４つの部屋があります。
aから外に出る確率は1/3、aからbに移る確率は1/3、aからcに移る確率は1/3
bからcに移る確率は1/3、bからaに移る確率は2/3
cからdに移る確率は2/3、cからaに移る確率は1/3
dから外に出る確率は1/3、dからbに移る確率は1/3、dからcに移る確率は1/3

となっています。
この際、dから外に出る確率はいくつになりますでしょうか？

どうぞよろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• すいません、スタートはaになります

    補足日時：2023/11/19 12:06

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 12:45

＞ スタートはaになります

v[0] = 転置(1, 0, 0, 0) ってことですね。
P = Σ[n=0→∞] (1/3) D[n]
　= Σ[n=0→∞] (0, 0, 0, 1/3) M^n v[0]
　= (0, 0, 0, 1/3) ( Σ[n=0→∞] M^n ) 転置(1, 0, 0, 0) です。

M の固有値を求めるのは難儀ですが、
固有方程式 λ^4 - 5λ^2 - 3λ = 0 から
どの固有値も ｜λ｜ < 1 であることは判りますから、
Σ[n=0→∞] M^n = lim[m→∞] Σ[n=0...m] M^n
　　　　　　　　= lim[m→∞] (E - M^m) 逆行列(E - M)
　　　　　　　　= (E - O) 逆行列(E - M)
　　　　　　　　= 逆行列(E - M)
と計算できます。
P = (0, 0, 0, 1/3) 逆行列(E - M) 転置(1, 0, 0, 0) になりますね。
これなら計算できます。

逆行列(E - M) =
　　3/7　　1/7　　-5/7　　-4/7
　　-1/7　　2/7　　-3/7　　-1/7
　　-2/7　　-3/7　　1/7　　-2/7
　　-4/7　　-6/7　　2/7　　3/7
なので、
P = 4/21 になります。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/19 12:31

「外」を部屋eだと思うことにすれば、ご質問の設定はa,b,c,d,eの5状態のマルコフ過程に他ならず、遷移確率行列Tで表せる。

　　3T =
　　　0 2 1 0 0
　　　1 0 0 1 0
　　　1 1 0 1 0
　　　0 0 2 0 0
　　　1 0 0 1 3
ですね。
　すると、どの状態から始めるにせよ、「n回の遷移で状態eに至る確率」がn→∞のとき1になるのはあきらか。なお、e以外の状態からeに至る直前の遷移には、aからeへ遷移するか、dからeへ遷移するか、のふた通りがある。

　そこでご質問は、「状態eに至る直前にdにいた確率はいくらか」ですね。

　この問題を考えるには、「外」に区別を設ければいいんです。すなわち、aから出られる「外」をe、dから出られる「外」をf、と区別して、a,b,c,d,e,fの6状態の遷移確率行列Uを考えると
　　3U =
　　　0 2 1 0 0 0
　　　1 0 0 1 0 0
　　　1 1 0 1 0 0
　　　0 0 2 0 0 0
　　　1 0 0 0 3 0
　　　0 0 0 1 0 3
　こうすると、ご質問は「状態fに至る確率はいくらか」という（マルコフ過程のアリフレた）問題に帰着するわけです。（もちろん、No.2がご指摘の通り、どこから出発するかでコタエは変わります。）

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 11:46

列ベクトル v[n] = 転置(A[n], B[n], C[n], D[n]),

行列 M =
　　0　　2/3　　1/3　　0
　　1/3　0　　　0　　　1/3
　　1/3　1/3　　0　　　1/3
　　0　　0　　　2/3　　0.
と置くと、
v[n+1] = M v[n] より
v[n] = M^n v[0] です。

M^n を求めましょう。
M = (1/3)M’ と置いて M’^n を計算するほうが
作業がやりやすいかな？
行列 M’ =
　　0　　2　　1　　0
　　1　　0　　0　　1
　　1　　1　　0　　1
　　0　　0　　2　　0,
M^n = (1/3^n) M’^n です。

M’ の固有方程式は λ^4 - 5λ^2 - 3λ = 0 になり、
固有値、固有ベクトルを求めるのは難しそうです。

出発点に戻って、何か算数的な工夫が必要そうですね。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 11:26

問題を、少し改変してみます。

a,b,c,d ４つの部屋があります。
「1回の移動で、」
aから外に出る確率は1/3、aからbに移る確率は1/3、aからcに移る確率は1/3
bからcに移る確率は1/3、bからaに移る確率は2/3
cからdに移る確率は2/3、cからaに移る確率は1/3
dから外に出る確率は1/3、dからbに移る確率は1/3、dからcに移る確率は1/3
となっています。
「移動を繰り返すとき、いつかは」dから外に出る確率はいくつになりますか？

n 回目の移動の後に部屋 a,b,c,d にいる確率を、
それぞれ A[n], B[n], C[n] D[n] と置きます。
与えられた条件は、
A[n+1] = (2/3)B[n] + (1/3)C[n],
B[n+1] = (1/3)A[n] + (1/3)D[n],
C[n+1] = (1/3)A[n] + (1/3)B[n] + (1/3)D[n],
D[n+1] = (2/3)C[n].
です。初期値 A[0], B[0], C[0], D[0] は判りません。
この条件下に、いつかｄから外に出る確率
P = Σ[k=0→∞] (1/3)D[k] を求めればいいですね。

ベクトル (A[n], B[n], C[n], D[n]) の行列漸化式を作って
係数行列を対角化すれば D[n] が判って、P が計算できます。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/11/19 11:22

ええと。

考えるまでもなく 1/3 ですね。
設問中に書いてあります。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/11/19 11:18

これ、スタートがどこどことか

最初の条件があるのでは？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 11:12

＞ dから外に出る確率は1/3

＞ となっています。
＞ この際、dから外に出る確率はいくつになりますでしょうか？

自明です。