No.3
- 回答日時:
L{f(t)}=∫[0+ → ∞]f(t)e^(-st)dt
これが,ラプラス変換ですが,この式に従って素直にデルタ関数のラプラス変換を求めると
L{δ(t)}=∫[0+ → ∞]δ(t)e^(-st)dt=0となります.また,次のような定義も広く用いられています.
∫[0- → ∞]f(t)e^(-st)dt=∫[0- → 0+]f(t)dt+L{f(t)}
このL-変換を使えば,
L_{δ(t)}=∫[0- → 0+]δ(t)dt+L{δ(t)}=1+0=1
となります.デルタ関数のような-0から考慮されている関数はL-変換を用いるべきです.ですから,デルタ関数のラプラス変換は特に,L-変換の意味であると考えて下さい.
L-変換は通常の関数にも適用できるので,すべてL-変換の意味で考えるのがよいと思います.
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ディラックのδ関数というのは,「超関数」といいまして,定義からして難しいのです.
超関数というのは,「初等関数で定義できない」
という意味で,簡単に言うと,有限の足し算やわり算やかけ算で定義できないと言うことです.
δ関数の定義は,
t=0 f(t)=∞
t≠0 f(t)=0
∫f(t) dt = 1 [-∞~∞]
0の周りの範囲で積分すると,1 になるというのが定義です.
ものすごく尖った関数と言うことです.
δ関数をフーリエ変換したりすることもできますが,
結局は定義に従っているだけです.
ラプラス変換は,
F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt
なので,
F(s) = 1
となるのです.e-(-s・0)=1だから.
このほかにも,世の中には,
「いたるところで微分不可能な関数」とか,
何回微分しても,自分自身になる関数e^x とか
面白いものがたくさんあります.
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