漸化式

(3)の計算の途中過程を教えてください

質問者からの補足コメント

• bnを提示するのを忘れてました。

  
    補足日時：2023/12/30 10:03

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/29 12:15

a(n+1)＝2a(n)+(-1)^(n+1)

がスタートと言う事ですか？
これに、両辺(-1)^(n+1)倍で
(-1)^(n+1)・a(n+1)
＝2(-1)^(n+1)・a(n)+1
(なぜならは(-1)^(n+1)＝±1を二乗すると＋1)
＝2・(-1)・(-1)^n・a(n)+1
ここで指定のおきかえを行うと
ｂ(n+1)＝-2ｂ(n)+1
以下、画像の真ん中らへんの式と同じ形になり、続きは画像の下部と同じ
です

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/12/31 20:33

(3)の計算の途中過程 だけでいいのですね

an=2^n bn
=(1/6){2^n - 2^n *(-1)^(n-1) /2^(n-1)}=①
ここで　2^n /2^(n-1) =2^n /{2^n *2^(-1)}=2^n /{2^n *(1/2)}
=1/1*(1/2)=1/(1/2)=2 だから
①=(1/6){2^n - 2*(-1)^(n-1)}
ここで　{　}内を2でくくれば
=(1/6)2{2^(n-1) - (-1)^(n-1)}=(1/3){2^(n-1) - (-1)^(n-1)}

a n+1 /(-1)^(n+1) =2a n /(-1)^(n+1) +1
=2a n /{(-1)^n *(-1)} +1
(-1)は分母にあっても分母・分子に(-1)を掛ければ　分子に移動できるから
=(-2) a n /(-1)^n +1 .................③
ここで　a n /(-1)^n =b n .............④　とおくと
③から　b n+1=(-2) b n +1=(-2) b n +(2/3)+(1/3)
(1/3)を左辺に移動して
b n+1 - 1/3=(-2) b n +(2/3)=(-2){b n - 1/3}
ここで　b n -1/3=B n とおいてやると
B n+1=(-2) B n
∴B n=(-2) B n-1=(-2)^2 B n-2= ......=(-2)^(n-1) B 1
ここで　B 1=b 1 -1/3= - 1/3 より
　=(-1/3) (-2)^(n-1)
故に
B n=b n -1/3 =(-1/3) (-2)^(n-1)
∴　b n=(-1/3) (-2)^(n-1) +1/3 =(1/3){1 - (-2)^(n-1) } .....⑤
④より
∴　a n=(-1)^n b n　　.................⑥
={(-1)^n 　/3}{1 - (-2)^(n-1) }
=(1/3){(-1)^n - (-1)^n (-2)^(n-1)}
=(1/3){(-1)^n - (-1)^n (-1)^(n-1) 2^(n-1)}
=(1/3){(-1)^n - (-1)^2n (-1)^(-1) 2^(n-1)}
ここで　 (-1)^2n=(-1)^2^n=1 また　(-1)^(-1)=1/(-1)= -1 だから
=(1/3){(-1)^n - (-1)　2^(n-1) }
=(1/3){(-1) (-1)^(n-1) +2^(n-1)}
=(1/3){2^(n-1) - (-1)^(n-1) }

⑥の　両辺に(-1)^(n+1) をかけて　
(-1)^(n+1)　a n=(-1)^(n+1) (-1)^n b n =(-1) (-1)^2n b n
∴　(-1)^(n+1)　a n=(-1) (-1)^n a n = (-1) (-1)^2n b n = - b n
∴　(-1)^n a n = b n とおいてやると　⑤より
(-1)^n a n=(1/3){1 - (-2)^(n-1) }=(1/3){1- (-1)^(n-1) 2^(n-1)}
=(1/3){1- (-1)^n (-1)^(-1) 2^(n-1)}
(-1)^(-1)=1/(-1)= -1 だから
=(1/3){1+(-1)^n 2^(n-1)}
=(-1)^n (1/3) {1 /(-1)^n +2^(n-1)}
ここで　1 /(-1)^n　=(-1)^n =(-1) (-1)^(n-1) より
=(-1)^n (1/3) {2^(n-1) - (-1)^(n-1)}
∴　a n= (1/3) {2^(n-1) - (-1)^(n-1)}

もし　この回答でいいならば　そして
計算がわからないのならば　自分でも解いたものをあげるべき！
そうでないと　回答者に負担をかけすぎるから！！

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/29 13:26

(3)の問題が書いてあらへんがな。

それで、どうやって途中過程を教えろと？
そもそも問題と解説に対してそういう姿勢だから
参考書を読んでも理解できないのでは？

写真の「参考(II の考え方で)」が
直上の(3)に対する解説だとして、
ページ1行目の bn は
「参考」4行目の式で定義されたものだと仮定する。

③の式が正しいかどうかは、問題も
これを導いた過程も引用されていないので
判断する方法が無いが、正しいと過程すれば、
b(n+1) = -2b(n) + 1 …④ を仮定したことになる。

この漸化式を解く方法は、教科書や参考書に
繰り返し出てくる型どおりで、
C = -2C + 1 …⑤ を満たす定数 C を使って
④と⑤を辺々引き算すれば、b(n+1) -C = -2(b(n) - C).
⑤の解が C = 1/3 だから、b(n+1) - 1/3 = -2(b(n) - 1/3).
b(n) - 1/3 が等比数列だと判るので、
b(n) - 1/3 = (b(1) - 1/3))・(-2)^(n-1).
よって、 b(n) = (b(1) - 1/3))・(-2)^(n-1) + 1/3
= (a(1)/(-1)^1 - 1/3))・(-2)^(n-1) + 1/3.

a(１) の値は、質問のいったいどこに書いてある？
答えから言って、おそらく a(1) = 0 なんだろうから
b(n) = (a(1)/(-1)^1 - 1/3))・(-2)^(n-1) + 1/3
= (0/(-1)^1 - 1/3))・(-2)^(n-1) + 1/3
= (-1/3))・(-2)^(n-1) + 1/3,

よって、
a(n) = b(n)/(-1)^n
= (1/3)・2^(n-1) + (1/3)(-1)^n
= (1/3){ 2^(n-1) - (-1)^(n-1) }.

ともかく、質問のしかたを要反省。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/29 12:23

それとも

③式の手前ですか？
(-1)^(n+1)＝-1がn+1個あり掛け算
＝(-1)×(-1)^n
これを利用して式変形