三次関数の極値の差からkの値を求める問題で途中で詰みました...

kを実数とする。３次関数y=x^3-kx^2+kx+1が極大値と極小値を持ち、極大値から極小値を引いた値が4|k|^3となる時、kの値を求めよ。

という問題なのですが、画像の通り解答を進めると、β-αの値がkで表せず進めなくなりました。
この方針で解くとして、どうすれば良いですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/20 00:35

No.2 です。

まだ、詰まってますか？

　α^3 - β^3 - k(α^2 - β^2) + k(α - β) = 4|k|^3
→　(α - β)[(α^2 + αβ + β^2) - k(α + β) + k] = 4|k|^3
→　(α - β)[(α + β)^2 - αβ - k(α + β) + k] = 4|k|^3

ここに
　α + β = (2/3)k
　αβ = (1/3)k
　α - β = -(2/3)√(k^2 - 3k)　　←これは二次方程式の一般解から求まる
を代入して

　 -[(2/3)√(k^2 - 3k)][(4/9)k^2 - (1/3)k - (2/3)k^2 + k] = 4|k|^3
→　[(2/3)√(k^2 - 3k)][(2/9)k^2 - (2/3)k] = 4|k|^3
→　[(1/3)√(k^2 - 3k)][(1/9)k^2 - (1/3)k] = |k|^3
→　[√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = 27|k|^3

あとは場合分けして

(a) 3<k のとき
　|k|^3 = k^3
より
　[√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = 27k^3
→　√(k^2 - 3k) = 27k^2 /(k - 3)
両辺2乗して
　k^2 - 3k = 729k^4 /(k - 3)^2
→　(k - 3)^3 = 729k^3
→　k - 3 = 9k
3 < k でこれを満たすものはない。

(b) k<0 のとき
　|k|^3 = -k^3
より
　[√(k^2 - 3k)](k^2 - 3k) = -27k^3
→　√(k^2 - 3k) = -27k^2 /(k - 3)
両辺2乗して
　k^2 - 3k = 729k^4 /(k - 3)^2
→　(k - 3)^3 = 729k^3
→　k - 3 = 9k
→　8k = -3
→　k = -3/8


検算してみれば
　y = x^3 + (3/8)x^2 - (3/8)x + 1
より
　y' = 3x^2 + (3/4)x - (3/8) = 0
となるのは
　24x^2 + 6x - 3 = 0
→　(4x - 1)(6x + 3) = 0
より
　x = -1/2, 1/4

このとき
　y(-1/2) = -1/8 + 3/32 + 3/16 + 1 = 37/32
　y(1/4) = 1/64 + 3/128 - 3/32 + 1 = 121/128
よって
　37/32 - 121/128 = 27/128
一方、
　4|k|^3 = 4 × (3/8)^3 = 27/128
合ってますね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/18 00:34

下から3行目は

　α^3 - β^3 - k(α^2 - β^2) + k(α - β) = 4|k|^3
でしょう。
定数項は引き算で消える。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/17 23:17

1ヶ所計算を間違えてるよ.