物理 重りの衝突

摩擦のある水平面上に木片を置き、そこに小球を衝突させ木片の移動距離を調べるという実験で、小球が衝突する速度が一定ならば木片の移動距離は衝突する小球の質量に比例するらしいのですが何故なのでしょうか？

自分の計算では、木片の移動距離は

( m(1+e)v )^2 / 2gμ(m+M)^2
ただし　m小球の質量、M木片の質量、e反発係数、μ木片と水平面の動摩擦係数、g重力加速度

でとても比例するとは思えません。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/07 12:21

衝突する直前の小球の速度を v1、衝突直後の小球、木片の速度をそれぞれ v2, V2 とすれば、運動量保存則から

　m･v1 = m･v2 + M･V2　　　　①
反発係数から
　(v2 - V2)/v1 = -e　　　　②
が成り立ちます。

v1 が一定という条件であれば、②より
　v2 = V2 - e･v1
これを①に代入して
　m･v1 = m･V2 - m･e･v1 + M･V2
→　(m + M)V2 = (1 + e)m･v1
→　V2 = (1 + e)m･v1/(m + M)

従って、衝突直後に木片がもつ運動エネルギーは
　E = (1/2)M(V2)^2 = (1/2)M[(1 + e)m･v1/(m + M)]^2　　③

一方、木片に働く摩擦力は、
　F = µMg
これで水平面上を L だけ移動するときに摩擦力のする仕事は
　W = F･L = µMgL　　　④

移動距離 L は、③と④が等しくなることから
　µMgL = (1/2)M[(1 + e)m･v1/(m + M)]^2
→　L = [1/(2µg)][(1 + e)m･v1/(m + M)]^2

これが、質問者さんの書かれた式ですね。
この式では、v1 が一定で、µ, g, e などのパラメータが決まっていれば
「移動距離は m/(m + M) の2乗に比例する」
ということになります。
従って「ｍ に比例する」とはいえません。

仮に「M が一定」であっても、「ｍ に比例する」とはいえません。
もし「M >> m」という条件があるのであれば
　m/(m + M) = 1/(1 + M/m) ≒ 1/(M/m) = m/M
となって、M が一定であれば「m の2乗に比例する」といえないこともないですが、そのときには
　L ≒ 0
なので、あまり意味のない議論です。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/07 06:16

比例はしません。

反例
m>>M、e=1なら
衝突しても小球の速度は変わらないから
反発係数の定義から
木片の速度=小球の速度の倍
で小球の質量とは無関係。