ベクトルの問題なのですが、Fが重心になる理由がわからないです

添付した画像28の問題なのですが、点Fは三角形ABCの内心だと思うのですが、解答を見るとFは重心だから,,,と解答を進めています。
何を根拠にFを重心だと判断しているのか教えて下さい

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/16 09:05

>左側の面積が同じである

いや、中線で分けられる面積が同じになるのは
3角形の重心固有の性質であって、重心の性質ではありません。
なので「直観」にむすびつけるのは難しいかと。

中線が重心を通るのは、結局のところ、3角形の薄板の
各部分の重さの中線に対する力のモーメントの和が
ゼロになることを示すしかないと思います。

No.5 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/01/15 23:17

重心を通る線より右側の重さ＝面積（この場合は2次元で厚さが一定の板と同じと考えてその面積）と左側の面積が同じである。

３角形の頂点を通る２本の線の交点は３本の線の交点にもなり、F点が重心だと直感的にわかる。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/15 20:53

そこに

「
頂点Aと辺BCの中点を通る直線が頂点Bと辺CAの中点を通る直線と交わる点をFとする
」
と書いてあるから

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線を、中線 といいます。
三角形の3本の中線は1点で交わり、その交点を 三角形の重心 といいます。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/14 17:49

三角形の３本の中線が交わる交点が三角形の重心というのは

教科書に書いてあると思うけど知りませんか？

重心の定義から三角形の重心を求めるには積分が必要だから
ちょっと難しいかもしれません。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/14 15:59

三角形の頂点からその対辺の中点を結んだ線を、中線 といいます。

三角形の3本の中線は1点で交わり、
その交点を 三角形の重心 といいます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/14 15:51

問題文を読むと、点F は、△ABC の

頂点A から辺BC へ引いた中線と
頂点B から辺CA へ引いた中線との交点です。
点F が△ABC の重心であることは明らか
参考↓
https://www.nhk.or.jp/kokokoza/suugakua/assets/m …
だと思うのですが、解りませんか？

点F が△ABC の内心であるかどうかは
調べてみないと判りませんが、
重心であることは明白だと思います。