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No.4
- 回答日時:
No.1&2 です。
やってみたけど、確かににおかしいですね。
(1) ABCD は正方形なので
→b・→d = cos(90°) = 0
△ABE、△ADEは正三角形なので
→b・→e = cos(60°) = 1/2
→d・→e = cos(60°) = 1/2
(2) →AF = →AC + →CF
で
→AC = →b + →d
なので
→AF = →b + →d + →CF
ここで
→CF = →EA = -→AE = -→e
なので
→AF = →b + →d - →e
よって
p=1, q=1, r=-1
(3) →AG = →AB + (2/3)→BE
→BE = →OE - →OB = →e - →b
なので
→AG = →b - (2/3)→b + (2/3)→e = (1/3)→b + (2/3)→e
また
→AH = →AC + t→CF
ここで
→AC = →b + →d
→CF = →EA = -→e
なので
→AH = →b + →d - t→e
((2) の結果を使って →AH = →AF + (1 - t)→FC から求めてもよい)
よって
→AG・→AH = [(1/3)→b + (2/3)→e]・[→b + →d - t→e]
= (1/3)|→b|^2 + (1/3)→b・→d - (1/3)t→b・→e + (2/3)→b・→e + (2/3)→d・→e - (2/3)t|→e|^2
= (1/3) + 0 - (1/6)t + (1/3) + (1/3) - (2/3)t
= 1 - (5/6)t
一方、余弦定理より
AG^2 = AB^2 + BG^2 - 2AB・BGcos(60°)
= 1 + (4/9) - (2/3)
= 7/9
同様に
AH^2 = AC^2 + CH^2 - 2AC・CHcos(45°)
= t^2 - 2t + 2
従って、与えられた面積を求める式のルートの中は
|→AG|^2・|→AH|^2 - (→AG・→AH)^2
= (7/9)(t^2 - 2t + 2) - [1 - (5/6)t]^2
= (7/9)t^2 - (14/9)t + (14/9) - 1 + (5/3)t - (25/36)t^2
= (1/12)t^2 + (1/9)t + 5/9
= (1/12)[t + (2/3)]^2 - 1/27 + 5/9
= (1/12)[t + (2/3)]^2 + 14/27
よって、t=0 のときが最小。
そのとき
S = (1/2)√(5/9) = (√5)/6
ただし、0<t<1 なので「最小値はない」かな。
どこかで間違っているかなあ?
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