京都大学理系 過去問 整数問題

以下問題

素数 m,n を用いてmⁿ+nᵐ と表せられる素数を全て求めよ.

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X=mⁿ+nᵐとする。

m=nの時はX=2mⁿとなり偶数になるので、x≠mである。

mod(n)を取ると、フェルマーの小定理より、
X≡m(m)ⁿ⁻¹+0ᵐ
≡m
同様に、X≡n mod(m)である。

よって、Xはn, mと互いに素な整数a, bを用いて
X=an+m
X=n+bm
と書ける。連立して、
an+m=n+bm
(a-1)n=(b-1)m
n, mは異なる素数であるため、素因数分解の一位性より(a-1)=m, (b-1)=nであることがわかる。

よって、
X=(m+1)n+m
=mn+m+n

mⁿ+nᵐ=mn+m+n
ここで、m, nがどちらも2より大きいと仮定すると、右辺は偶数、左辺は奇数となり矛盾する。よって、対称性よりnが2だとして良い。
代入して、
m²+2ᵐ=2m+m+2
2ᵐ=-m²+3m+2=-(m-3/2)²+17/4
この式の左辺はmにおいて狭義単調増加であり、右辺はm≥2>3/2において狭義単調減少である。m=2の時この式は成立するので、考えうる解はm=2の場合のみ。

よって、(n,m)=(2,2)

質問者からの補足コメント

• 

  私の答案では法を 3 に取っているが、此れは偶然でも、閃きでもない
  
  小さい数からサンプルを拾い活かしたものである.
  
  以下答案です
  
  画像拡大リンク
  
  https://imgur.com/a/Wu9foTj
  
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

  
    補足日時：2024/03/26 22:36

• 

  画像拡大リンク
  
  https://imgur.com/a/Wu9foTj

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/26 22:55

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/27 21:55

補足2024/03/26 22:36について

n=1(mod 2) だから　(3-1)^n = -1 (mod 3) になるのであって

n=1(mod 3) だから　(3-1)^n = -1 (mod 3)　になるのではありません
n=2(mod 3) だから　(3-1)^n = -1 (mod 3)　になるのではありません

(3-1)^n = -1 (mod 3) となる理由が正しくありません

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/27 17:06

補足2024/03/26 22:36について

n=2(mod 3) のとき　
(3-1)^n = (-1)^2 = 1 とならなくて
(3-1)^n = -1
となるのはなぜでしょうか?

この回答へのお礼

こんにちは

ご指摘ありがとうございます。

>(3-1)^n = -1となるのはなぜでしょうか?

ｎが、奇素数では十分ではありませんか

お礼日時：2024/03/28 14:30

No.4 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2024/03/27 08:41

> 此れは私の考え方ではないのでよくわかりません

そうですか。
質問者様に言ってもしょうがないのですが、
この回答って、代入すればすぐに間違いが分かる（2,2）を
答えにしている時点でおかしいと思わないのが不思議です。

さらに言えば、
> X=(m+1)n+m=mn+m+n
という式についても
X=(m+1)n+m=mn+m+n=(m+1)(n+1)-1
なので、mとnにそれぞれ1を足したものの積とXとの差が
1だということ。
このXは素数m,nで成り立つのだから、
m=2、n=101でも成り立つはず。
でも、2^101はとんでもない桁数になるはずなのに、
3×102-1では3桁にしからなないことからも、
この式のどこかがおかしいって気づくべきことだと思うのだけど。
なんか技に走って本質を理解していないような気が…

ついでに言えば、最後の答えからしておかしいのが
すぐわかるはずなのに、誰かの考えとはいえ
なんでこの解き方を示したの？って思ってしまう。

この回答へのお礼

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …

お礼日時：2024/03/27 10:19

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/26 20:10

m≧2

n≧2
m^n≧4
n^m≧4
m^n+n^m≧8
m^n+n^mは素数だから
m^n+n^m≧11
だから
m^n+n^mは奇数素数

m=n(mod 2)と仮定すると
m^n+n^m=2n^n=0(mod 2)
となってm^n+n^mが奇数であることに矛盾するから
m≠n(mod 2)
m,nのどちらか一方が奇数、他方が偶数だから
m,nのどちらかが2
よって対称性より
n=2
mは奇数
としてよい

mは奇数だから
m=2k+1となる整数kがある
n^m=2^m=2^(2k+1)=2(4^k)=2(3+1)^k=2(mod 3)

m≠0(mod3)と仮定すると
m^n+n^m=m^2+2^m=1+2=0(mod3)
となってm^n+n^mが3の倍数でない11以上の素数であることに矛盾するから
m=0(mod3)
mは3の倍数素数だから
m=3
(n,m)=(2,3)
∴
m^n+n^m=3^2+2^3=9+8=17

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

私の答案は補足しました。

お礼日時：2024/03/26 22:39

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/26 17:25

m≧2

n≧2
m^n≧4
n^m≧4
m^n+n^m≧8
m^n+n^mは素数だから
m^n+n^m≧11
だから
m^n+n^mは奇数素数

m,nがどちらも2より大きいと仮定すると
m,nはともに奇数素数
m^n,n^mはともに奇数だから
m^n+n^mは偶数となって
m^n+n^mが奇数であることに矛盾するから
m,nのどちらかが2
よって対称性よりn=2としてよい

mは奇数だから
m=2k+1となる整数kがある
2^m=2^(2k+1)=2(4^k)=2(3+1)^k=2(mod 3)

m≠0(mod3)と仮定すると
m^2+2^m=1+2=0(mod3)
となってm^n+n^mが3の倍数でない11以上の素数であることに矛盾するから
m=0(mod3)
mは3の倍数素数だから
m=3
∴
(n,m)=(2,3),または
(m,n)=(3,2)

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2024/03/26 12:27

2行目で否定していることが答えになっているのもどうかと

思いますが、
> (a-1)n=(b-1)m
> n, mは異なる素数であるため、素因数分解の一位性より
> (a-1)=m, (b-1)=nであることがわかる。

(a-1)=km, (b-1)=knでは？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

此れは私の考え方ではないのでよくわかりません

以下答案

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https://imgur.com/a/Wu9foTj

お礼日時：2024/03/26 22:43