この√２が無理数であることの証明はどう考えますか？

まず最初に以下のaとbは互いに素だと仮定しない。

√２が有理数だと仮定する。
すなわち√２はある自然数a,bを用いて分数表記が可能。
より
√２＝b/a
2＝b^2/a^2
2a^2＝b^2
3a^2＝a^2＋b^2
となる。
ここでaとbは互いに３の倍数でならないといけない
a＾２≡０、ｂ＾２≡１ mod 3、a＾２≡１、b＾２≡０ mod 3、a＾２≡１、b＾２≡１ mod3
だと左辺が３の倍数にならないため。
より
a＝３c、b＝３dと表記可能
より代入して９で割って
３c^2＝c^2＋d^2と可能
おなじ理屈でc＝3e、d＝3fと表記してそこからさらに３の素因数を持った自然数が見つかる。
この操作は無限に可能
つまり最初に互い素にだと仮定しなかったa,ｂは３の倍数を無限に持つが自然数の約数の個数は有限個ではないといけない。
これはつまり最初に√２が分数表記可能の有理数だと仮定したことに誤りがある。
つまり√２は無理数である

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/14 15:11

> この操作は無限に可能

というふうに直感に訴えるんじゃなしに、キチンと証明が繋がるように述べるには：

　まず、述語P(a)は「aは自然数で、3a^2＝a^2＋b^2 を満たす自然数bが存在する」を表すものとします。
　さて、H:「P(a)である自然数aが存在する」を仮定する。
　この仮定Hから、「P(a)である自然数aのうち最小のもの」が存在することが言えるので、これをAとする。
　そうすると（ご質問に書いてある通り）P(A/3)であることが証明でき、しかも(A/3)はAよりも小さい。
　だから、Aは「P(a)である自然数aのうち最小のもの」ではない。これは矛盾なので、仮定Hは偽である。

とやればいいですね。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/12 23:15

非常に迂遠な証明だが、合ってることは合ってる。

最後に背理法へ持ち込むことも、世間でありふれた証明と同じだし。

しかし、
「自然数の約数の個数は有限個ではないといけない」を使うなら、
そこからすぐに有理数の分数表現に既約なものが存在すること
が示せるから、迂遠であること著しい。

あと、
「ここでaとbは互いに３の倍数でならないといけない」の理由には、
x mod 3 が 0,1,2 のいづれであっても x^2 mod 3 は 0,1 のどちらか
であることを書き添えないといかんとは思う。

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/12 22:41

そういえば思い出した、こういうオアソビをやったなあ… ご参考まで：

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/7340847.html

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/02/12 21:32

回りくどい。

素因数分解の1意性定理（数論の基本定理）を使え。
つまり、任意の数は素因数分解の仕方が1通りしか無い、と言う定理。

√２が有理数だと仮定すると√2=b/aと表記出来る。
両辺を2乗して整理すると、b²=2a²。
2と言う因数が左辺に偶数個、右辺に奇数個出現する。

これは素因数分解の1意性定理に反するので、√２は有理数では表記出来ない。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/12 20:57

何で そんな 回りくどい事を 考えるのですか。

「最初に以下のaとbは互いに素だと仮定しない」ならば、
「2＝b^2/a^2、2a^2＝b^2」から a, b は 偶数でなければならない。
従って 共通の約数 2c を持つ筈ですから、√2=b/a=2cn/2cm=n/m で、
n. m は 互いに素 で良いのでは。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/12 20:48

aとbは互いに素だと仮定した方が簡単なのに

なぜ仮定しないのかわからない

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/12 20:36

素直に

2a^2 = b^2 から b は偶数で...
ってやった方が簡単だなぁって思う.

あと最初の「より」が日本語として不自然.