数学を教えてください。

「実数tに対して、xy平面上の直線l;ｙ＝2tx-t^2を考える。tがt≧0の範囲を動くとき、直線lが通る点(x,y)の全体を図示せよ」という問題で、命題A「ｙ＝2tx-t^2かつt≧0」と、命題B「tの方程式:t^2-2xt+y=0がt≧0に少なくとも１つの解を持つ」は同値なのでしょうか？命題C「tの方程式:t^2-2xt+y=0がt≧0に2つの実数解を持つ」と同値なのではないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/06 21:00

t=1

x=-1
のとき
y=2tx-t^2=-3
だから
Lは点(-1,-3)を通る

x=-1
y=-3
のとき
t^2-2xt+y
=t^2+2t-3
=(t+3)(t-1)=0
t=1
.または.
t=-3
だから
t≧0に1つの実数解t=1だけ持つから
t≧0に2つの実数解を持たないから
命題C「tの方程式:t^2-2xt+y=0がt≧0に2つの実数解を持つ」と同値ではない

この回答へのお礼

なるほどです！
問題文は、「tが正の時に直線lが通る領域を図示せよ」と言っているだけなので、tが負の時にもその領域を通ったとしても、それは問題無い訳ですね！
(x,y)=(1,3)という点は、tが1の時にも-3の時にも通る点ですもんね。
とても納得できました。
ありがとうございました！！

お礼日時：2024/04/06 21:19

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/06 20:53

A と B は同値です。

どちらも、要するに ∃t, ｙ=2tx-t^2 かつ t≧0 ってことですからね。
C はこれとは違います。
例えば、 (x,y) = (1,1) は A,B は満たすが、C は満たさない。
t が t = 1 の 1 個しかないですから。

この回答へのお礼

早速のご教示、ありがとうございます。
(x,y) = (1,1)の具体例を示していただき、とても納得できました。確かに、「2つの正の実数解を持つ」と言ってしまったら、正の重解が省かれてしまいますもんね。
ありがとうございます！！

お礼日時：2024/04/06 21:20

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/06 20:50

t²-2tx+y=0 は 「少なくとも１つの解」では？

t が決まれば、直線は １つに限られるのでは。
「２つの実数解」って、具体的に どんな解が 考えられますか。