イプシロンエヌ論法についてですが、 写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として

イプシロンエヌ論法についてですが、
写真の問題の青全部についてですが、なぜεの範囲を0<ε<2として考えてよいのでしょうか？確かに極限を求める上では写真にも書かれている通りεは限りなく0に近づけることからεの範囲を絞っても問題ないように思えるのですが、εの範囲を絞ることはイプシロンエヌ論法の定義の「任意(全て)のε>0に対して…」と書かれていることに矛盾するのでは？と思いました。なぜεの範囲を定めてよいのかの解説おねがいします。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/28 05:17

ε'=min(ε,0.5)でもよい

-----------------
0<ε'<2 となる任意のε'に対してヨN(∀n>N→|a(n)-1|<ε' )…(1)
が成り立つとすると

任意(全て)のε>0に対して

ε'=min(ε,0.5)
とすると
0<ε'≦0.5<2
だから(1)から
ヨN(∀n>N→|a(n)-1|<ε' )
が成り立つ
↓ε' ≦εだから
ヨN(∀n>N→|a(n)-1|<ε )
が成り立つ

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/26 09:32

εの範囲を0<ε<2として考えなくても次のように証明できるから

その解答は不適切です

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/04/26 09:09

ε ≧ 2 の時 n は任意の自然数でよいから。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/26 09:02

|a(n)-1|<ε' ≦ε

ε'=εのとき、|a(n)-1|≦εが成り立つなどとはいっていません


|a(n)-1|<ε' ≦ε

ならば

|a(n)-1|<ε

であって

ε'=εのときであっても
|a(n)-1|<ε' =ε
なのだから
|a(n)-1|=ε　になることはありません
--------------
0<ε'<2 となる任意のε'に対して|a(n)-1|<ε' が成り立つ…(1)
とすると

任意(全て)のε>0に対して

ε'=min(ε,1)
とすると
0<ε'≦1<2
だから(1)から
|a(n)-1|<ε'
が成り立つ
↓ε' ≦εだから
|a(n)-1|<ε
が成り立つ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ε'=min(ε,1)についてですが括弧内の1は0＜ε'＜2の範囲で適当(任意)に取ってきた値ですか？例えばε'=min(ε,0.5)としてもよいのでしょうか？

お礼日時：2024/04/28 00:15

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/26 05:31

0<ε'<2 となる任意のε'に対して|a(n)-1|<ε' が成り立つ…(1)

とすると

任意(全て)のε>0に対して

ε'=min(ε,1)
とすると
0<ε'≦1<2
だから(1)から
|a(n)-1|<ε' ≦ε
が成り立つから
|a(n)-1|<ε
が成り立つ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
|a(n)-1|<ε' ≦εという不等式についてですが、なぜ、ε'=εのとき、|a(n)-1|≦εが成り立つのでしょうか？

お礼日時：2024/04/26 08:11

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/26 00:46

自分で手と頭を動かしてる?

だいたいこういうときって「ε が小さいほど条件が厳しい」はずなんだよ.

つまり, 例えば「ε = 1 で成り立つ」のであれば「任意の ε > 1 でも (同様に) 成り立つ」のだ.