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【数学】

Q.t=2ˣ+2⁻ˣ としたとき、t の取りうる範囲を求めよ。

この問に対して、相加相乗平均を用いた解答では不十分・誤答であるらしいのですが、何がいけないのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    質問が少し情報不十分のように思えてきたので、少し経緯を補足させていただきます。

    ある塾講師が、
    『t=2ˣ+2⁻ˣ の取りうる範囲を求めよ」という問の模範解答が相加相乗のみで完結しているのは如何なものか』
    と言ったところに、他の塾講師が
    『それは初歩的な誤答ですね』
    と返していたのを聞きました。
    xの取りうる範囲とかまでは聞いていないのですが、下手なことがない限り実数全体だと思われます…。

    自分も恐らく相加相乗平均の関係を使ってしまうと思うので、それではなぜ不十分なのか、もしくは間違いなのか。分からなかったので質問させていただきました。

    回答よろしくお願いします。m(_ _)m

      補足日時:2021/09/07 00:53

A 回答 (7件)

(相加平均)≧(相乗平均)の関係から相加平均の最小値を決めることはできますが、最大値を決めることはできません。



t≧2となる任意の値を取り得るか、ということを答えられないので不十分でしょう。

これを示すには
1.2^x+2^(-x)がx>0で連続で単調増加であり、x→+∞で+∞に発散することことから中間値の定理を使って任意の2以上の値を取り得ることを示す。

2.y=2^xとおいてyをtで表す。
yについての2次方程式が得られるので解の公式で解く。t≧2の場合、y>0となる解が得られることを示す。

くらいの方法でtが2以上の任意の値をとれることを示せばよい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(_ _)m
それだっそれですね!
相加相乗を過信しすぎていたせいですね…。

お礼日時:2021/09/07 16:46

めっちゃくちゃ厳密にいうなら


「t=2ˣ+2⁻ˣ としたとき、t の取りうる範囲を求めよ。」
という問題が実は不十分 (あるいは不適切) といえなくもない.

「t の値の範囲」とか「t の取る範囲」ならともかく, 「取りうる」だと「取る『可能性のある』範囲」だから「その範囲のすべての値を取らなくってもいいんじゃね?」って解釈されたときにちょっと困る.

もちろん「数学の『常識』」ではそういう「困った解釈」をしないことになってる (さすがに「全実数」っていわれちゃうと, ねぇ) んだけど, 純粋に「日本語の解釈」とみるとそのような解釈もできてしまう.
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この回答へのお礼

そもそも聞いたところが断片的であったのもあって不確定要素が多いかもしれませんね…。難しいところです…
回答ありがとうございます m(_ _)m

お礼日時:2021/09/08 21:26

厳密にいうなら


2^x の取り得る範囲をきちんと扱う必要がある
とはいえるかも. 例えば
-4 ≦ x ≦ 4 のときに t = 2^x + 2^(-x) の取り得る範囲を求めよ
という問題だったら, 単純に
相加相乗平均の関係で t ≧ 2√[2^x × 2^(-x)] = 2
とはできないよね.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(_ _)m

-4 ≦ x ≦ 4 のときは増加の傾向と最大値を…なるほど…。実数全体の時も議論する必要があるということですね…!

お礼日時:2021/09/07 16:15

あー確かに合ってるぽいね


ここで聞くより先生に聞くのが1番!
でもやっぱりそれ使わない方が簡単な気が、、笑
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(_ _)m
 確かに先生に聞けたらいいですよね…。でも先生方はいつも忙しそうですし中々タイミングもなくて…(汗)
 だからここで誰も急かさずマイペースに訊けて、かつ、先生方と同等、もしくはそれ以上の賢い方々の意見を聞かせて頂けるので利用させて頂いてます。
 もともと塾講師をやっていた方もいたりするので、参考になるばかりです…!

 ところで、より簡単な「それを使わない方」というのはどのような解法でしょうか…?
 また、1つ前の回答の、「答えがその値以下になることはない」ことをどう示すおつもりなのかもお聞かせ願います…m(_ _)m

お礼日時:2021/09/07 01:22

どうやって回答したのかが知りたいです


僕ならこのような指数に文字がある問題は、最初に0を代入して、答えがその値以下になることはないので答えをt>=2とします。
間違えてたらごまん
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。m(_ _)m
回答者様の回答で、「答えがその値以下になることはないので」とありますが、それはどのように示されますか?

自分は前述の通り、相加相乗を用いて、
─────────────────────
 2ˣ, 2⁻ˣ >0
より、相加相乗平均の関係から
 2ˣ+2⁻ˣ ≧ 2√(2ˣ・2⁻ˣ) = 2
等号成立は、
 2ˣ = 2⁻ˣ
∴ x = -x
∴ x = 0
のとき。したがって
 2ˣ + 2⁻ˣ ≧ 2
─────────────────────
とすると思います。
でも、これでは不十分、最悪 誤答と聞いたので質問させていただきました。

お礼日時:2021/09/07 00:43

xの範囲が指定されてないからだと思う


相加相乗平均はxが0より大きいときに使えるんじゃないかな
xが0より大きくても使えるかは分からないけど
こうゆう問題は単純に代入した方が早いよ
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます m(_ _)m

代入というのは何を代入すれば良いのでしょうか…?

また、2ˣ はすべての実数xに対して 2ˣ>0 (2⁻ˣについても同様) が成り立つので、相加相乗平均を用いる条件は満たしていると思うのですが…‪

お礼日時:2021/09/07 00:17

単純に2から無限に大きくなるんじゃねえの?

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます m(_ _)m
答え自体は分かっております〜。(/. .\)
ただ、質問文にあるような問があったとき、自分では相加相乗を使ってしまうと思ったので質問させていただいた次第です。
なぜ、相加相乗平均の関係では不十分なのか、その点について回答頂けたら幸いです。m(_ _)m

お礼日時:2021/09/07 00:03

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