拡大縮小濃度は変わらない

Question

sinx と sin100x
定義域の数は同じだと思います
でも出てくる値は直感的に100xのほうが多そう（ぐるぐる回るから）
なんでですか？

アレフ１

ありものがたり · Accepted Answer

落ち着いてゆっくり考えようや。

依然として、定義域の濃度の話をしているのか
値域の濃度の話をしているのか
がハッキリしないが、
sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数)
を比べているのなら、どちらも
定義域は実数
値域は -1 以上 1 以下の実数
で、集合が共通している。
濃度の定義を復習しなくても、
同じ集合の濃度が同じであることは解りそうなもんだ。

「出てくる値は直感的に100xのほうが多そう」については、
その直感が歪んでいるとしか言いようがない。
論理じゃなく気持ちの話なんで、明確な説明はつけようもないが。
「わたしもぐるぐる回るとかの話はしてないです」
とのことなんで、この点はもういいのかな？

No.6 への返事にある自転車の話は、
A = { vt ｜ 0≦t≦10 } と
B = { (2v)t ｜ 0≦t≦10 } が
等濃度なのはなんとなくふしぎだねという話なのだろう。
自分で書いているとおり、
A も B も T = { t ｜ 0≦t≦10 } と等濃度だから等濃度になる。
慣れるとむしろ自然な話で、
これを不思議と思う気持ちのほうが不思議ではある。

A は B の真部分集合なので、これが等濃度なら
B - A の要素はどうなっちゃうの？ という気持ちは
やや解らんでもないが、無限集合ではあたりまえの現象だ。

その素朴な例のひとつが「ヒルベルトのホテル」。
集合 N0 = { 0 以上の整数 } と
N1 = { 自然数 } は
写像 f：N0→N1, f(x) = x+1 で一対一に対応する。
N0 = { 0 } ∪ N1 だが、{ 0 } のぶんの「多さ」は
どうなってしまったのか？ という話。
(AくんBくんの自転車の話と似ているね？)

これは、自転車の話やヒルベルトのホテルを
不思議と感じる立場での「多さ」という直感が
有限集合の要素数の性質を引きずっていて、
無限集合の濃度はそういうものじゃないんだよ
ということに尽きる。

慣れて、濃度に通用する直感を育てるしかないんじゃないの？
無限集合が有限集合でないことは、変えられないんだから。

ありものがたり · Answer

＞ つまり写像のしゅういきにはBのしゅういきの２倍の元があるはず
＞ なんでそういうことがおきますか？

sin x や sin 100x の定義域、値域を無限集合で考えているから。
自分自身の真部分集合と一対一対応が作れることは、
無限集合の特徴のひとつ。
「ヒルベルトのホテル」で検索検索ぅ〜

mtrajcp · Answer

集合Xから集合Yへの写像
f:X→Y
に対して
x,a∈X
f(x)=f(a)ならばx=a
が成り立つとき
fを単射という
任意のy∈Yに対して
y=f(x)となるx∈Xが存在する
ときfを全射という
fが単射かつ全射であるとき
fは全単射という
全単射であるようなfが存在するとき
XとYの濃度は等しいという

f(x)=sinx
で全実数を定義域とすると
sin(π)=sin(0)だから
fは単射ではない

X=[-π/2,π/2]={x|-π/2≦x≦π/2]
Y=[-1,1]={y|-1≦y≦1}
とすると
f(x)=sinxは
[-π/2,π/2]から[-1,1]への全単射になるから

[-π/2,π/2]と[-1,1]の濃度は等しい

f(x)=sin(100x)
で全実数を定義域とすると
sin(100π/100)=sin(100*0)だから
fは単射ではない

X=[-π/200,π/200]={x|-π/200≦x≦π/200]
Y=[-1,1]={y|-1≦y≦1}
とすると
f(x)=sin(100x)は
[-π/200,π/200]から[-1,1]への全単射になるから

[-π/200,π/200]と[-1,1]の濃度は等しい

tknakamuri · Answer

>ありものがたりくんのおれいに書いたようなことについて
>考えてみてください。

う～ん、連続体を数えられると思っているのかな？

tknakamuri · Answer

>そです。たとえばいそうをXを時間tで考えると速さが
>2倍という意味になるけどそれは後付けじゃないですか？？？？

それは出来上がった集合の濃度とは全く関係のない話。
[-1, 1] という閉区間だけが濃度を考える対象です。
どう作ったかは関係ないんです。

ありものがたり · Answer

「出力を増やす」って、何や？
それを定義せにゃ、質問にならへん。

sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数) 
の値域なら、どちらも -1 以上 1 以下で、何も増えてへんがな。

ありものがたり · Answer

＞ 私が聞きたかったのは定義開きじゃなくて値域の方の話です。
＞ わたしもぐるぐる回るとかの話はしてないです。

例によっていつものように、途中で話が変わっているなあ...
これも、sin x と sin 100x の定義域しだいではあるが、
sin x (定義域は x∈実数) と sin 100x (定義域は x∈実数) の
値域を比べているのなら、どちらの値域も -1 以上 1 以下だから、
濃度以前に値域の集合が同じなんだよ。濃度が違うわけないでしょ。

tknakamuri · Answer

sinx、 sin100x を写像ととらえると、 x ∈ R なら 
値域はどちらも 閉区間[-1, 1] になると思うけど
そういう話？？？

ありものがたり · Answer

「定義域の数」って何や？
ソレの定義を書かねば、質問にゃならんよ。

定義域の濃度って意味で言っているのなら、
sin x や sin 100x や「ぐるぐる回る」は何の関係もなくて、
sin x (定義域は x∈S) と sin 100x (定義域は x∈S) の
定義域は共通の集合 S なんだから、
その濃度が同じなのは自明でしょう？

これが、例えば
sin x (定義域は x∈{1,2,3}) と sin 100x (定義域は x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})
で定義域の濃度を比べているのなら、当然
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} のほうが {1,2,3} よりも濃度は高い。
依然として、「ぐるぐる回る」は何の関係もないけれど。

ssawatake · Answer

xの値が1個決まると100xの値も1個決まる。
それに対する関数値も1個決まる。

逆に100xの値が1個決まるとxの値も1個決まる。
それに対する関数値も1個決まる。

つまり全く同じ。

拡大 縮小 濃度は変わらない

落ち着いてゆっくり考えようや。

＞ つまり写像のしゅういきにはBのしゅういきの２倍の元があるはず

集合Xから集合Yへの写像

>ありものがたりくんのおれいに書いたようなことについて

>そです。

「出力を増やす」って、何や？

＞ 私が聞きたかったのは定義開きじゃなくて値域の方の話です。

sinx、 sin100x を写像ととらえると、 x ∈ R なら

「定義域の数」って何や？

xの値が1個決まると100xの値も1個決まる。

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拡大縮小濃度は変わらない

＞つまり写像のしゅういきにはBのしゅういきの２倍の元があるはず

＞私が聞きたかったのは定義開きじゃなくて値域の方の話です。