微分方程式 について d²y/dx² は 分数みたいに使えるから 1/a ・ d²y/dx² = d

微分方程式 について
d²y/dx² は 分数みたいに使えるから 1/a ・ d²y/dx² = d²y/dax² = d²y/d(x~)²
になるのは何となく分かりますが、 x~で微分するからyはx~の関数になるy(x~) と思うのですが、 どのようにy(x)からy(x~)になるのですか？

https://home.hirosaki-u.ac.jp/relativity/理工系の数学c/常微分方程式/最も簡単な定数係数2階微分方程式：続き/

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/02 19:14

yはxの関数で

y=f(x)
x=g(x~)=x~/√Kだから
xはx~の関数だから

y=f(g(x~)) だから

yはx~の関数になるのです

y(x~)になるのではありません
y(x(x~))になるのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/02 16:12

xをy(x)に対応させる関数

x→y(x)
と
x~をy((x~)/√K)に対応させる関数
x~→y((x~)/√K)
は
異なる関数なのです
だから
関数
x~→y((x~)/√K)
を
y(x~)と書いてはいけません

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/02 11:32

y(x)からy(x~)になりません

x=(x~)/√K
だから

y(x)=y((x~)/√K)

になるのです

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/02 11:14

文字で「xにょろにょろ」が書けないので、これを t にします。

つまり
　t = (√K)x　　　①

そうすれば
　dt/dx = √K
なので
　dy/dx = (dy/dt)(dt/dx) = (√K)(dy/dt)　　　②
　d²y/dx² = (d/dx)(dy/dx) = (d/dt)(dy/dx)(dt/dx)
　　　　　= (d/dt){(√K)(dy/dt)}(√K)
　　　　　= Kd²y/dt²
よって、与微分方程式は
　Kd²y/dt² = -Ky
→　d²y/dt² = -y
になります。

＞どのようにy(x)からy(x~)になるのですか？

どのようにって、①の関係で「置換微分」とか「合成関数の微分」と呼ばれるものになっただけです。
①の関係で
　y(x) → y(t)
になったのです。
なので、「x で微分する」のを②のように「t を経由して微分」することにしただけ。
高校の微分を復習しましょう。