超関数の説明で「このときeqは… φ に関して線型かつ連続に変化する実数」は〈〉の中に二つ文字がある

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質問者：ゆうすけ21
質問日時：2024/07/06 13:21
回答数：3件

超関数の説明で「このときeqは… φ に関して線型かつ連続に変化する実数」は〈〉の中に二つ文字があるので実数の組ではないのでしょうか？それとこの〈〉は何を表しているのでしょうか？
普通の()とは違いブラケット記法みたいなカッコですよね？

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No.3

回答者： han-ka-2
回答日時：2024/07/06 19:05

<f, g> は関数 f と g の内積です。

<f, f> はですから関数 f のノルム（の二乗）と呼ばれます。すべてユークリッド幾何の拡張です。内積がゼロになる関数同士を直交していると呼びます。フーリエ級数は御存じですよね。なぜあんなに簡単にフーリエ係数が求められるかというと，固有関数（直角座標系だと三角関数，極座標系だとベッセル関数，球座標系だとルジャンドルの多項式）は，ある適切に定義された内積で直交性を確認できるものんですから，直交関数列と呼ばれます。この直交性があるからこそ，フーリエ級数があんなに簡単に求められます。超関数というのは，例えばディラックのデルタ関数 δ(t-t0) は，いわゆる関数ではありません。そんな定義が成立しないからです。そこである試験関数 (test function) を乗じた内積でしか定義できないのが超関数 (distribution) と呼ばれます。例えばδなら

∫ δ(t-t0) Φ(t) dt = Φ(t0)

という関係で初めて定義されています。Φが試験関数です。無限個の関数列がお互いに直交していることは，とても重要な概念です。物理系の例を挙げるとしたら，いわゆる衝撃荷重 f(t)=F δ(t-t0) と定義でき，その定義は力積が

∫ f(t) dt= F

ということから物理的な意味がわかるわけです。