私がばかなのか？

Question

曲線pが滑らかな閉曲線で凸集合Kの協会となっていて、pは反時計回りにKを回るとき
dθ/ds ≥ 0 
という事実らしいですけど、説明が

曲線 p が反時計回りに凸集合 K の周りを回っているため、角度 θ は時間 s とともに常に増加するか、少なくとも減少しない。したがって、その導関数 dθ/ds は常に非負になる

らしいですけど、すぐに反例を思いつくんですけどこの説明あてますか？？ほんとに

ありものがたり · Accepted Answer

No.8 の続きを計算で処理して dθ/ds > 0 を導こうとすると、
K の凸性を d²r/ds² や d²φ/ds² の入った式で表現する部分が
非常に面倒くさくて、正直やりきれない。
定性的な説明を、ちょっと試みよう。

K の境界をなす曲線を C と名付ける。
C 上に定点 p₀ をとって、 p₀ で接する C の接線をひく。
K が凸図形であることから、 K はこの接線の片側の半平面に含まれる。
p₀ を原点、 p の速度方向を v軸正方向、
v軸に垂直で K のある側を正とする軸を w軸とする vw直交座標を考える。
点 p₀ の近傍では、 C は vw座標上で 下凸な 一価正則の関数になるから、
C 上を反時計回りに移動する p の速度ベクトルの偏角 θ は
dθ/ds > 0 になる。

↓添付図： 
　　p が s の増大とともに p₀ を通過するとき
　　青い接ベクトルが赤い接ベクトルへ変化すると考えると、
　　dp/ds の偏角 θ は増大している。

ありものがたり · Answer

No.9 の問題点は、No.6 No.7 で解決してると思うんだがな。

mtrajcp · Answer

以下の図は反例ではありません

ありものがたり · Answer

なんか、よくわからん「お礼」は来てるけど、
No.7 の続きで考えてみよう。

K の内部に位置ベクトル c の定点をとって、境界上の点 p を
p = c + r (cosφ,sinφ) と極座標表示してみる。
K が凸図形であれば、r が φ に対して一意になるから、
p も φ に対して一意。つまり、p が変数 φ でパラメータ表示される。
質問文にある「曲線 p が反時計回りに凸集合 K の周りを回っている」
というのは、「時間」 s に対して dφ/ds > 0 のこと
と解釈してよいのだろうと思う。

ここで、勝手に定数ベクトル c を置いてしまったが、微分すればそれは消えて
dp/ds = 0 + (dr/ds) (cosφ,sinφ) + r (-sinφ,cosφ) (dφ/ds) である。

θ の定義が No.6 No.7 のとおりだとすれば、
dp/ds = v (cosθ,sinθ) と置ける。 v は s のスカラー関数である。

(dr/ds) (cosφ,sinφ) + r (dφ/ds) (-sinφ,cosφ) = v (cosθ,sinθ) と
dφ/ds > 0 から
dθ/ds > 0 は導けるか？ という形に、質問が定式化できたことになる。
さあどうかな...

ありものがたり · Answer

＞ Θは接せんの傾きです。(x軸となす角）

接線と x軸がなす角 というと、幾何で考えるときに
角に絶対値が入ってしまうから、話が変になるけど、
反時計回りに廻る点 p の速度と x軸正方向のなす角
なら、ベクトルどうしのなす角だから、話はわかりますね。
原点云々の話も、なくなる。

tknakamuri · Answer

>例えばえんで、左下の方のさがっていくときになります。

交差角のようなことを考えているのだろうか？

普通運動の方向を角度で表わす場合、x軸正方向を何度反時計回りに回すと
軸の正方向が運動の方向と一致するかで考えます。

紙面右方向への移動なら0度や360度。
紙面上方向への移動なら90度
紙面左方向への移動なら180度
紙面下方向への移動なら270度

数式でかくと
dp/ds=v=(vx、vy)
vx/|v|=cosθ、vy/|v|=sinθ

pが凸集合の滑らかな境界を反時計回りに回って行くと
pの移動の向き(速度の向き)も反時計回りに回って行きますよね。

dθ/ds>0 はそういう意味です。

ありものがたり · Answer

＞ 定義や定理をちゃんとかくと、これです
＞ https://imgur.com/a/Ke7TfJV

依然として、θ や s の定義が明記されてないのだが...
悪ふざけはいい加減にして、そろそろ問題を正確に
引用しようよ。時間の無駄だから。

ありものがたり · Answer

＞ Θは接せんの傾きです。(x軸となす角）

ほらね。
θ の定義を書いてないことが難点だって言ったでしょう。
依然として s と図の関係を書いてないけど、接点のパラメータが s なのかな？

「x軸となす角」と言ったら、通常は x 軸正方向となす角を指すから、
補足のリンク先の θ₁, θ₂ は測ってる場所が違う。
図の 2本の接線の間だと、dθ/ds > 0 で反例になってない。
でも、曲線の上半分に s を取れば、確かに反例になる。

x軸と交わらない閉曲線なら、上半分は必ず存在するから...
違うか、閉曲線が x軸より下にある場合も考慮した言い方をすると、
x軸と交わらない閉曲線なら、ｘ軸から遠い半分は必ず存在するから
反例となる孤は存在してしまうことになる。
閉曲線が x軸と交わる場合にも、たいていの曲線では反例が存在して、
あなたが解釈した版の定理が成り立つのは、閉曲線が x軸と
2箇所で交わって、交点がどちらも直交してる場合だけだ。
ほとんどの閉曲線で定理は成り立たないことになる。

ということは、その図の状況は
「説明」の言ってる定理とは違ってると考えたほうが無難だろう。
やはり、θ や s の定義を確認することが必要なのだと思う。

No.1 で書いたのは、質問文中の定理の文言を、
K は原点を内点に持ち、θ はパラメータ s が表す点の動経
だとすれば dθ/ds ≥ 0 は成り立ってる...という話。

tknakamuri · Answer

>ごめんなさい。Θは接せんの傾きです。(x軸となす角）

成程。接線の傾きは考えてなかったけど
dθ/ds < 0 になる点はどこでしょう？

凸集合で境界は滑らかとすると、
境界は真っすぐか外側に凸(左曲がり)になるはず。
右に曲がってゆく(dθ/ds < 0)ところはないはずだけど。

tknakamuri · Answer

>すぐに反例を思いつくんですけど

それを是非図で描いてみよう。ポンチ絵でいいから。

pの角度θを決めるには、角度を決めるための中心位置 o 
が必要になります。これがどこにあるかで結論は全く変わるよ。

この条件が質問からぽろっと落ちてるのに 千票(^^;

というかθの定義くらい書こう。

私がばかなのか？

No.8 の続きを計算で処理して dθ/ds > 0 を導こうとすると、

No.9 の問題点は、No.6 No.7 で解決してると思うんだがな。

以下の図は反例ではありません

なんか、よくわからん「お礼」は来てるけど、

＞ Θは接せんの傾きです。

>例えばえんで、左下の方のさがっていくときになります。

＞ 定義や定理をちゃんとかくと、これです

＞ Θは接せんの傾きです。

>ごめんなさい。

>すぐに反例を思いつくんですけど

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