下の写真 なぜこれは同値性考えずにそのまま２乗できるのでしょうか

下の写真　なぜこれは同値性考えずにそのまま２乗できるのでしょうか

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/26 21:03

いや、質問の論点はごもっとも。

3r = (√3)(2 - r cosθ) を 2乗して
9r^2 = 3(2 - r cosθ)^2 に変形すると、
その時点で十分性は失われている。

9r^2 = 3(2 - r cosθ)^2 から導いた解が
3r = ＋(√3)(2 - r cosθ) の解なのか
3r = ー(√3)(2 - r cosθ) の解なのかは、
最後に吟味する必要がある。

今回の小問の場合、
得られた式を満たす (x,y) の全てが解であるかどうか
には、ひとこと触れねばならない。
写真の解答は、要減点。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/07/26 20:16

平方根とる訳じゃ無いから。

=の両辺をn乗しても=は常に成立つ。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/26 19:53

r{1+(√3/3)cosθ}=2√3/3

0<1-(√3/3)≦1+(√3/3)cosθ
だから

r=2√3/3/{1+(√3/3)cosθ}>0
だから
(θがどんな値でもrは負になることはないから)

3r=√3(2-rcosθ)

の両辺を2乗できる