数学II 2つの整式f(x), g(x)の和と積をx-aでわったときの余りが、それぞれb,cであると

数学II
2つの整式f(x), g(x)の和と積をx-aでわったときの余りが、それぞれb,cであるとき
(1) f(a)+g(a), f(a)g(a)をb,cで表せ
(2){f(x)}^2+{g(x)}^2をx-aでわったときの余りをb,cで表せ
という問題なのですが解説には剰余の定理より
f(a)+g(a)=b f(a)g(a)=c
(2)はb^2-2cとなっていたのですが
そもそも剰余の定理というのが分からないのでこの問題の解説を見ても全く分かりません。
剰余の定理とはなんですか？アホでも分かるように説明をお願いします。
あとこの問題の解説もお願いします。

質問者からの補足コメント

• (1)は解決しました。
  (2)の解説では{f(x)}^2+{g(x)}^2をx-aでわった余りは
  {f(a)}^2+{g(a)}^2とかいてあるのですが、
  それは商をQ(x)、余りをRとしたとき
  {f(x)}^2+{g(x)}^2=(x-a)Q(x)+R
  xにaを代入すると
  {f(a)}^2+{g(a)}^2=R
  だから余りが{f(a)}^2+{g(a)}^2になる
  という考え方であってますか？

    補足日時：2024/07/29 16:03

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/29 18:57

(1)

「剰余定理」というのは、
多項式 f(x) を x-a で割った余りが A であるとき、f(a) = A が成り立つ
というものです。
w(x) = f(x) + g(x), s(x) = f(x)g(x) と置くと
問題の条件は w(a) = b, s(a) = c ということですから、
この定理を使って、質問の問題では f(a) = b, g(a) = c ですから、
f(a)+g(a) = w(a) = b+c, f(a)g(a) = s(a) = bc になりますね。

(2)
こっちは、剰余定理よりも、その基になる余りつき除算の式
w(x) = (x-a)Q1(x) + b, s(x) = (x-a)Q2(x) + c { Q1(x), Q2(x)は多項式 }
を使ったほうが解りやすいかな？
{ f(x) }^2 + { g(x) }^2 = { f(x) + g(x) }^2 - 2f(x)g(x)
　　　　　　　　　= { w(x) }^2 - 2s(x)
　　　　　　　　　= { (x-a)Q1(x) + b }^2 - 2{ (x-a)Q2(x) + c }
　　　　　　　　　= (x-a)^2 Q1(x)^2 + 2b(x-a)Q1(x) + b^2
　　　　　　　　　　- 2(x-a)Q2(x) - 2c
　　　　　　　　= (x-a){ (x-a)Q1(x)^2 + 2bQ1(x) - 2Q2(x) } + b^2 - 2c.
{ f(x) }^2 + { g(x) }^2 を x-a で割った余りは、 b^2 - 2c になってますね。

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2024/07/29 18:29

私にはわかりません。

『そんな状態、つまり
「剰余の定理が分かっていない状態で、なぜ剰余の定理を使う問題を
しようとするのか』ということが。
はっきり言いますよ
『そんな状態で問題を解いても時間の無駄です』

物事には順番があるのです。
勉強も同じ。
まずは
『剰余の定理をきちんと勉強すること』
です。
順番を間違えると
あなたのように問題を解くことができませんから
苦手意識につながります。これが続くと数学嫌いになるのですよ。
また、仮にここで聞くなどしてこの問題の答えだけは分かったとしても
理解できていないですから、同じような別の問題は解けません。
それでは全く意味がないはずです。
悪いことは言いませんから
まずは『教科書で勉強してください』。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/29 16:11

＞という考え方であってますか？

はい、合っています。

その考え方が「剰余の定理」ということです。

それを
　A^2 + B^2 = (A + B)^2 - 2AB
となる関係を使って
　{f(a)}^2+{g(a)}^2 = [f(a) + g(a)]^2 - 2f(a)g(a)
とすれば、最終の答になりますね。