（高校物理）断熱変化について教えて下さい

Question

よくあるピストンの中の気体が膨張する場合、ピストンが断熱材だったら断熱膨張となり、温度が下がります。これは気体が外部に仕事をすることと、熱力学第一法則から理解できます。

ここから質問ですが、

①断熱材の仕切りのある２つの部屋の１つにのみ気体が入っていて、片方は真空の状態から仕切りを外すと、温度は一定のままです。これは、仕切りを外したのは外力で、気体が仕事をしたわけではないから内部エネルギーが変化しなかったため、という理解で合っていますか？

②断熱材のピストンに話を戻して、ピストンを膨張する方向に動かしたのが外力だと明記されていて、かつ、気体の速度を上回る速さでピストンを動かした場合は①と同様の状態になって温度は変化しないでしょうか？

③②よりもピストンを動かす速さが遅くて、動かしている間に気体がピストンの壁にぼんぼんぶつかっている場合は、気体は外部に仕事をしていると言えるでしょうか？この場合は、やはり気体の温度は下がりますか？このように外に仕事をしたのが外力と気体の両方だったら、一般的に定式化は難しいですか？

質問がたくさんになってしまったので、気が向いたところだけでもお願いします。

yhr2 · Accepted Answer

No.2&3&4&8&10 です。

いろいろ議論を呼んでいるようですが、質問者さんの最初の最初の条件設定に「あいまいさ」や「考えにくい設定」を含んでいるのが問題かと思います。

再整理すると、「気体の入った部屋」と「真空の部屋」が断熱仕切板で区切られているところから

①仕切板を取り払う。ここでは #6 さんのおっしゃるとおり、無限小の仕事で仕切板を取り払えるので、それは対象外とする。
これは、2つの部屋を「コック付き貫通管」で接続し、「コックを開ける」のと同等と考えてよいのでしょう。

この場合には、仕切板を取り外す、あるいはコックを開けるための仕事は無視できるほど小さいので、
・気体のする仕事はゼロ
・全体が断熱で外部との熱の出入りはない
こととあわせ
・内部エネルギーの変化なし、従って温度変化なし
ということになると思います。

②仕切板を「取り外す」のではなく、ストッパーを外してシリンダー内を移動させる。この場合にも、ストッパーを外ための仕事は無視できるほど小さと考えられます。
おそらく、ここでは「仕切板（ピストン）の質量は無視できるほど小さい」「摩擦は無視できる」という条件かと思います。
その場合には、仕切板を動かすための気体分子の衝突では、仕切板の質量が無視できるほど小さいので、気体分子は運動量にほとんど変化のない状態で仕切板を「押す」ことになります。
従って、
・気体のする仕事は（ほとんど）ゼロ
・全体が断熱で外部との熱の出入りはない
なので
・内部エネルギーの変化なし、従って温度変化なし
ということになると思います。

つまり、①と②はほとんど同じことを言っているので、温度変化はないでしょう。

問題は③です。
③は「②と同様の状態で、仕切板をゆっくり動かすようにする」というものですが、②のように「気体分子が仕切板に衝突して仕切板が動く」を意図的に「押し返す」ようなことをしないといけません。
真空の部屋に気体を入れてその圧力を使うとか、ピストンとシリンダーとの間に「摩擦」を考えるとか、ピストンを外力で押し返すとか、何らかの操作を想定しないとその条件を実現できないからです。
なので、yos1912 さんも eatern27 さんも、③は「気体が何らかの仕事をするので温度が下がる」と考えられています。

しかし、①②と同様に、一方の部屋が真空で、摩擦や外部からの「力」を想定しないのであれば
・気体のする仕事はゼロ
・全体が断熱で外部との熱の出入りはない
なので
・内部エネルギーの変化なし、従って温度変化なし
ということになるはずです。

これはなかなか「ピストンの動かし方」としては想定しづらいのですが、たとえば
・②で、真空の部屋の奥行きが、気体の平均速度に比べ非常に長い
　（つまり、ピストンが気体の平均速度で動いたとしても、真空の部屋の端まで行きつくのに数年かかる、というような）
とか
・①の「コック付き貫通管」の管の直径を、1秒間に数個の分子しか通過できない程度の「細さ」にする（２つの部屋が平衡状態に達するのに数億年かかる、とか）
というようなことを考えれば、質問者さんの想定する③の条件を「想像する」ことができそうです。
その場合には、③も条件としては①、②とほぼ同等と考えることができると思います。

この問題のような「仮想的な条件を設定した問題」では、「理想気体」とか「ほぼゼロ」とか「無視できる」とか「非常に小さい」とか「十分な時間が経った」とか、いろいろな仮定や近似をして、何が何だかわからなくなりますが、基本は「エネルギー保存」（熱の出入りや、した/された仕事）で考えることかと思います。（熱に関しては「向き」も考える必要があります）
すくなくとも、
・気体のする/される仕事がゼロ
・熱の出入りがない
ということであれば、「エネルギーが保存される」ということから判断することになると思います。
（この場合に保存されるのは「気体の内部エネルギー」であり、理想気体では温度のみの関数）

eatern27 · Answer

>①で気体が仕事をした（された）かどうかは、直接気体の内部エネルギーに関係してくると思っているので、

仕切りを外す際に(仕切りに対して)する仕事
気体が膨張する際にする仕事
の2種類があります。
「仕切りを外したのは外力で」と質問にあったから、#6には前者の仕事についての話(理想的には無限小の仕事で外せるので、気体が仕事をしたと思っても差し支えない)をしたのですが、違ったのですかね。

最終的な温度変化について論じるには、もちろん後者が重要です。

> 気体分子が弾性衝突すれば、確かに運動エネルギーは減りますが、この弾性衝突はピストンを動かすものの一部になっていると考えてもよいのでしょうか？

「弾性衝突はピストンを動かすものの一部になる」の意味が理解できませんでしたが、

例えばピストンの質量が有限だとおもって、跳ね返り前後での運動エネルギーの変化量を計算してみて下さい。
反発係数1の跳ね返りの式は運動エネルギーの保存則と等価なので、気体分子の運動エネルギーの変化量とピストンの運動エネルギーの変化は等しくなります。ピストンの質量→∞としても、この関係は変わりません(ピストンの質量が無限大なら、無限小の速度変化で有限の運動エネルギーの変化をもたらすことができます)

気体の内部エネルギーの減少量(+ピストン側から受け取るエネルギー)
気体がピストンにした仕事
ピストンが気体にされた仕事
ピストンの運動エネルギーの変化+ピストンから(仕事などで)ピストン以外に移動したエネルギー

これらは同一のエネルギー(の移動量)に対して別の見方をしているだけなので、全て同じ値になります。

質問の③は２つ目が0でない場合を想定している事になるので、いずれも0と近似する事はできません。(0と近似するのはピストンが動かない近似をしているのと変わりません)

仮にピストンの質量が0で、気体以外から力を受けないのだとしたら、
気体分子がピストンに衝突した瞬間にピストンは飛んで行ってしまい、③ではなく②の状況になってしまいます。
③の状況を考えたいのなら、そうならないための何らかの工夫が欠かせません。

その工夫が
ピストンに質量を持たせる事なら、ピストンは運動エネルギーを持つ事になるし、
ダンパなどで気体とは逆向きの力を加える事なら、ダンパなどを経由してエネルギーが外部に逃がす事ができます。
それらのエネルギーは元々は気体の内部エネルギーだったのだから、その分だけ、気体の温度が下がる事になります。

ただ、ピストンの構造の詳細によっては気体の温度が下がらない事はあり得ます。
具体的には４つ目に書いたピストンからのエネルギーの移動先が気体の場合(例えば、ピストンに取り付けてあるダンパで発生した摩擦熱を、気体の加熱使うとか)ですね。
まぁなので、厳密に言えば温度が下がるかどうかを議論するにはピストンの構造の詳細を決める必要がある事にはなります。

fxq11011 · Answer

＞「理想と現実を混ぜるな」と仰っているのでしょうか
そうなんですが、質問者はその意識すらできていません
真空→現実ではありえません、
続いて、断熱材、現実そのものなんです。
力学なんかでも抵抗その他の損失は無視するものとするものとする、なんて明確に表示されています。
熱その他のエネルギの出入りはないものとする、そんな条件設定が必要なんです、「ピストンを動かす」、極めれ現実に即した表現なんです、別の表現すべきなんです。
動かす速度が遅ければ・・・・・誤差があることが前提の表現なんです。
抵抗が非常に小さいからと言って、氷の上で・・・・なんて表現はしません。

yos1912 · Answer

質問されたので答えます。混乱の元になりそうなので。
　基本的にはシリンダ＋ピストンの外側が真空であろうと空気で満たされていたとしても結果は同じになります。ピストンが押す力は外側側の大気圧分だけ大きくなるだけだからです。そもそも２３の問題についてはピストンの外側が真空だという文言はありません。文中に断熱材のピストンに戻してと書かれていますから１に書かれている真空は全く無関係という事になります。
　当然のことですが、シリンダ内に真空と空気が混在しているということはあり得ませんね。

yhr2 · Answer

No.2&3&4&8 です。

確認ですが、質問の②も③も、①と同じ「気体の入った部屋と、真空の部屋」の話（つまり「断熱自由膨張」）ですよね？

だったら、①も②も③も「熱の出入りがなく、気体は仕事もしない」ですから、変化の速い遅いにかかわらず「温度変化はない」ということになるはずです。

#9 さんは、③を「気体の入った部屋と、空気の入った部屋」で考えているのでは？

yos1912 · Answer

前回の投稿後、しきり板を取り外すのではなく自由に動けるようにしたらどうかなるかという主旨だと書いた方がよかったかなと思っていました。でも、投稿中に説明しようとしていたことに関係した回答が全てでそろっていたようなので、質問の意味がなくなったので全部撤回します。

考え方の観点は２つあります。この点については質問文を見ると理解できていると思います。１つ目は気体が外部に対して仕事をしたかどうかあるいは外部から仕事をされたかどうかでもいいでしょう。２つ目はピストンにぶつかった後の気体分子の運動速度の変化に注目する方法です。

こちらが設定した問題では、仕事に関しては答えがついていました。速度の変化についての考察に絞ります。まずこのような問題を考えるときに結果に影響を与えそうな相互作用は極力排除します。例えば空気分子が仕切り板を動かすのにエネルギーを使うというようなことです。エネルギーを使わないのであればしきり板の質量は０になります。その結果最初にぶつかった空気分子の前にくっついくような形でしきり板が移動していきます。空気の塊の先頭に薄い膜があるというようなイメージになります。空気がやってきたところの最前線にしきり板があるといっていいでしょうか。
　このしきり板は空気と同じ速度で移動していますから、空気との相対速度は０になります。しきり板には、最初の空気分子以外はぶつからないという事になります。その結果、空気の運動速度の変化は生じないことになります。言い換えれば温度の変化は生じないといえます。
　あくまでも仕事をしなかったのは真空に対してであるという点に注意してください。

１つ目の質問について
　微妙な問題があります。「しきり板を外したのは外力で」とありますが、ここでの外力は他の質問にある外力とはニュアンスが少し違うようです。いきなり外れていたと考えるべきで、考慮する対象にはなりません。
　解答としては、こちらがだした質問でしきり板がみえない場合を想定すればわかると思います。しきり板は真空に対して仕事をしないし、しきり板を介して運動速度の変化もありません。
　ちなみに空気分子の運動がどうなるかを想定してみます。もともと真空だった部屋の壁まで移動して跳ね返って戻ってきます。速度は維持されたままで向きは逆になります。跳ね返ることで壁に圧力を与えます。ある程度時間が立つと、運動距離が２倍になるので衝突関数が半減し圧力は半分に減るという結果になります。

２番目の質問です
　ここでの外力はピストンが自分の意思で動いてという想定としておきます。何らかの力が働いて動いたのだと。
　空気分子より速い速度で動いているのだから、分子が追いつけずに跳ね返らない、よって速度変化はないと考える方法(回答されています)があります。
　設定問題では、ピストンに遅れてしきり板が移動していきますからその間は真空のまま(というか真空になります)です。単純にしきり板がなくなったという想定と全く同じですから、温度変化は生じないことになります。

３つ目です。回答が割れているようです。
　空気が仕事をしたかではなく、ピストンが仕事をしたかどうかで考えればわかりやすくなります。ピストンは空気によって圧力を受けています。その方向に動かしたのですから、当然仕事をしたことになります。実際には力の方向に移動していますから負の仕事となります。圧力を与えた空気は、それに見合うだけの仕事をしてもらったことになります。正確には負の仕事だったから仕事をしたことになります。よって温度は下がります。
　分子の運動でいえば、ピストンで跳ね返るときに運動速度は変化しますから温度も変化します。遅くなりますから温度は下がります。
　自動車のエンジン(特にディーゼルエンジン)を空気中と真空中で動かしたらどうなるかを考えてみるといいと思います。もちろん吸排気口はそれなりの場所につながれているものとします。真空中で仕事をしないのであれば、圧縮で熱は発生しないのでディーゼルエンジンは動かないことになります。

最後の「外に仕事をしたのが外力と気体の両方だったら」が意味不明です。外力は外の力ですから外に仕事はできません。というより外どうしの仕事って何？基本的には、ピストンがシリンダー内の空気にするのが外力です。外側の空気の圧力が加わっていたとしてもピストンの力として合算されます。

yhr2 · Answer

No.2&3&4 です。
ゆっくり考えて理解すればよいと思います。

断熱自由膨張については、下記などを参考にしてください。
https://kokolainen.com/free-expansion/

https://www.youtube.com/watch?v=I6Tn01d1MXk

これは「初期状態（の定常状態）と最終状態（の定常状態）で決まる」変化なので、急激に変化する②であっても（その後十分な時間が経過したと考える）、ゆっくり動かす③であっても（常に定常上程を維持したまま変化させる）であっても、結果は同じになります。
なので、「ピストンを動かす」のも「仕切のコックを開ける」のも、同じ結果になります。

yos1912 · Answer

ちょっと話が飛躍しすぎていたかも知れません。ごめんなさい。空気の入った方の部屋が真空の部屋へ広がっていって最終的に空気のあった部屋が真空だった部屋を占領してしまったらどうなるかという想定です。
　基本的に断熱膨張で気温が下がるしくみを相手側を真空に応用すると、考え方はそのままでいいのか、なにか考え直さないといけないことがあるのかという質問です。このあたりがしっかり理解できていれば質問文の全ての項目が理解できると考えています。
　この間に、いいたかったことの半分だけ回答(相手が真空だから力は０、従って仕事は０という内容)がついています。気温減少についてのもう一つの説明のしかたについてはどう考えればいいのでしょうか。

eatern27 · Answer

① 
仕切りを開けるのに気体が仕事をしたかどうかは重要ではありません。
理想的には仕切りは無限小の仕事で開ける事ができるので、無視した議論をしているだけです。

②③
離れていく壁に質点が弾性衝突(反発係数1)すると、質点の運動エネルギーは減少します。
ピストンが膨張する方向に動いている時に、気体分子がピストンにぶつかると、まさにこのような状況になっているので、(他の箇所に減った運動エネルギー分のエネルギーを補充する機構がなければ)気体の温度が下がります。

②は気体分子が動くピストンに衝突しない設定なので温度は下がりません。
③は気体分子が動くピストンに衝突する設定なので温度は下がります。

外力がどうのこうのという話は、
実際にピストンがどんな速度で動くのか(どのくらい温度が下がるのか)、最終的なエネルギーの行先といった話には絡んできますが、単に温度が下がるかという定性的な話しかしないののなら重要な話ではありません。

fxq11011 · Answer

ボイルシャルルの法則
気体の体積は温度に比例し、圧力に反比例する。
あり得ない理想の真空に対して断熱材（現実そのもの）こんなもの都合よく織り交ぜてはまともな結果は出ません。
真空→圧力０、そこに元は真空空間と同じ体積の気体が混ざれば、体積は２倍(圧力は1/2)
体積は２倍、でも断熱膨張で温度は1/2
圧力は1/2、でも断熱で圧縮,温度は２倍
1/2×２＝１なんですわな。
＞温度は一定のままです
ボイルシャルルの法則で、タリメーのコンコンチキ
質問者が言う、「温度一定」の根拠は一体何なの？。
そもそも、真空、その空間の温度は一体何度なの？。
＞気体は外部に仕事をして
断熱には程遠いたわごとにすぎません
仕事＝エネルギーによる結果、エネルギー不変の法則、熱エネルギーが伝わった結果と、とらえることも可能なんです。

（高校物理）断熱変化について教えて下さい

No.2&3&4&8&10 です。

>①で気体が仕事をした（された）かどうかは、直接気体の内部エネルギーに関係してくると思っているので、

＞「理想と現実を混ぜるな」と仰っているのでしょうか

質問されたので答えます。

No.2&3&4&8 です。

前回の投稿後、しきり板を取り外すのではなく自由に動けるようにしたらどうかなるかという主旨だと書いた方がよかったかなと思っていました。

No.2&3&4 です。

ちょっと話が飛躍しすぎていたかも知れません。

①

ボイルシャルルの法則

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