数学 軌跡

(３)の問題について質問です。

解答には
「……よって、(x-1)²+(y-1)²=2 ここで、①はy軸と一致することはなく、②は直線 y=2 と一致することはないので、点(0,2)は含まれない。」
と書いてありましたが、この文の中の「②は直線 y=2 と一致することはない」というのは、なぜわかるのでしょうか？

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/08/27 11:43

mx-y=0 ∴y=mx 　.........................(1)

なので(0,0)は必ず通る定点A
x+my-2m-2=0 ..............................(2)
∴m(y-2)=2-x なので(2,2)は必ず通る定点B
∴y=(x-2)/(-m) +2 なので　傾きは　-1/m
直線①, ②　の傾きの積が　m*(-1/m)= -1 より直交する

直線②は　必ず(2,2)を通るので　もし　y=2 も候補だが
直線①と②は直交するので　直線①はy軸となるが
実際は　(1)から　どんなmでもy軸　つまり　x=0 だけはなりえないから
この論理を逆に進めていればいい！

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/26 23:04

「(x,y)が直線①と直線②の交点であるならば、(x-1)²+(y-1)²=2 である」ということはわかったとして、しかし逆は必ずしも言えないからチェックしないとね。

　平面の勝手な点(X,Y)を決めて、直線①がこの点を通るようにmを選ぶことを考える。するとm = Y/Xとすればいいですね。でもこの分母が0、すなわちX=0の場合はどうか。
　(X,Y)が原点(0,0)ならOKで、このときmは何でもいい。しかし(X,Y)が原点以外のy軸上の点である場合だけはムリ。つまり、「(0,0)以外のy軸上の点」が直線①と直線②の交点になることはアリエナイ。なので、円(x-1)²+(y-1)²=2上の点のうちから「(0,0)以外のy軸上の点」を除外しなくちゃいけない。
　同様に、直線②が点(X,Y)を通るようにするには m=(X -2)/(2 - Y) とすればいいわけだけど、でもこの分母が0、すなわちY＝2の場合はどうか。
　(X,Y)=(2,2)ならOKで、このときmは何でもいい。しかし(X,Y)が(2,2)以外のy=2の直線上の点である場合だけはムリで、言い換えれば、そういう点が直線①と直線②の交点になることはアリエナイ。なので、円(x-1)²+(y-1)²=2上の点のうちから「(2,2)以外のy=2の直線上の点」を除外しなくちゃいけない。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/08/26 20:45

>②は直線 y=2 と一致することはない

y=2と一致するなら、y=2、x=任意で②が成立つことが必要。
②はy=2の時 x=2 なので任意のxではなりたたない。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/26 18:29

②式を変形すると、

m≠0 のとき y = (-1/m)x + 2(m+1)/m,
m=0 のとき x = 2.

m が実数である限り、傾きが 0 になることはないので、
②は y = 0x + 2 にはなりません。