非マルコフ過程をマルコフ過程に近似する方法は？

非マルコフ過程
d X(t)/dt = ∫_[t ~ -∞] A(t-t')X(t') dt'
を考えた時、A(t) = A0 e^(-t/τ) のように短い時間でしか履歴を保存しない場合、これをマルコフ過程
d X(t)/dt = A' X(t)
に近似する一般論はありますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/29 22:32

" A' " とお書きなのが何を指しているんだかはっきりしませんが、ま、それは置いといて：

A(t)が、t<0 ならば 0、t>τ ならほとんど0であり、t→∞で0、という場合に限定して近似の話をやりますと、
　　S = ∫A(t)dt （ただし積分範囲は 0 から ∞）
と書くことにすると、
　　A(t) ≒ if 0≦t≦τ then (S/τ) else 0
さらにτ→+0の極限を考えると、
　　A(t) ≒ S δ(t) （δ関数のS倍）
でいいじゃねえか。すると、A(t)が上記の性質を満たしていて|τdX/dt| がうんと小さいんであれば
　　∫_[t ~ -∞] A(t-t')X(t') dt' = A(t)＊X(t) ≒ S δ(t)＊X(t) = S X(t)
と近似するのもアリだろう。と、ここまでは当たり前の話です。

　さて、これを使って与式を
　　dX/dt ≒ S X
で近似しちゃうってのはどうか。これは微分方程式であり、|dX/dt| がどうなるかはこの式自身が語っている。すなわち、
　　dX/dt = S X
の解は
　　X(t) = X(0) e^(S t)
なのだから、Sが正なら|X|は爆発的に大きくなり、だから|dX/dt| も爆発するんで、「τ|dX/dt| がうんと小さい」わけがないから、近似が破綻します。ということは、S≦0でなくちゃ話にならない。例示なさった
　　A(t) = A0 e^(-t/τ)
の場合で言えば、A0≦0 ってことですね。そこで
　　c² = -A0
とでもしましょう。

　　d X(t)/dt = ∫_[t ~ -∞] A(t-t')X(t') dt'
を解くには、ラプラス変換が便利。Xのラプラス変換をΞ(s), Aのラプラス変換をΒ(s)とでもしますと、
　　s Ξ - X(0) = B Ξ
より
　　Ξ= X(0)/(s - B)
となります。例えば
　　A(t) = - c² e^(-t/τ)
ですと、
　　B(s) = - c² / (s + 1/τ)
ですから、あとはラプラス変換表に載ってる公式で答が出ます。その結果と
　　X(t) = X(0) e^(-c²τt)
とを比べたとき、用途に照らして十分似ているかどうか、ということです。