物理学力学の問題です。わからないので教えてください。問 x 軸上を運動する質量 M の質点に、

Question

物理学　
力学の問題です。
わからないので教えてください。

問 x 軸上を運動する質量 M の質点に、
x に比例した復元力 F = −MΩ2x と、
速さに比例した抵 抗力 −βv が働いている
(Ω, β は定数，v = dx/dt)

(1) この質点に対する運動方程式を書きなさい。

(2) これ以降，β = 0 の場合で考える。
β = 0 の場合の(1) の運動方程式の
一般解を書きなさい。

(3) (2) で求めた一般解から、初期条件 t = 0 において x = x0、v = 0 を満たす解を見つけよ。

(4) (2) で求めた一般解から、初期条件 t = 0 の時に
x = 0、v = v0 を満たす解を見つけなさい。

(5) (3) で求めた解について、力学的エネルギーの値を求めなさい。

物理学　力学が得意な方よろしくお願いします。

yhr2 · Accepted Answer

No.1 です。

＞復元力 F = −MΩ2x

おそらく
　F = - M*Ω²*x
なんでしょうかね。

微分方程式の係数が
　F/M
になるので、うまく通分できるように「M」を含ませ、またばね定数が「正」であることを示し、かつあとあと単振動の周期を単純にするために
　Ω² > 0
ということにしたのでしょうね。

そうすれば（２）の運動方程式は
　　d²x/dt² + Ω²*x = 0
となり、一般解が
　x(t) = C1*sin(Ωt) + C2*cos(Ωt)　　　①
という形で求まりますからね。

（３）初期条件から
　x(0) = C2 = x0
これを①に代入して微分すれば
　v(t) = C1*Ω*cos(Ωt) - x0*Ω*sin(Ωt)
より、初期条件から
　v(0) = C1*Ω = 0
→　C1 = 0

よって①のこの初期条件での解は
　x(t) = x0*cos(Ωt)　　　　　　②
ということになります。

（４）この初期条件だと
①から
　x(0) = C2 = 0
これを①に代入して微分すれば
　v(t) = C1*Ω*cos(Ωt)
より、初期条件から
　v(0) = C1*Ω = v0
→　C1 = v0/Ω

よって①のこの初期条件での解は
　x(t) = (v0/Ω)cos(Ωt)　　　　　②'
ということになります。

（５）力学的エネルギーは、「運動エネルギー」とバネの「弾性エネルギー」（一般的には「復元力」のポテンシャルエネルギー）の和ですから、「復元力」のポテンシャルエネルギー」がゼロになる x=0 での運動エネルギーを求めればよいです。

②より
　x(T) = 0
となるのは
　x(T) = x0*cos(ΩT) = 0
より、0≦ΩT<2パイ の範囲であれば
　ΩT = (1/2)パイ、(3/2)パイ
のときで、このとき
　v(T) = -x0*Ω*sin(ΩT) = ±x0*Ω
ということになります。

従って、このときの運動エネルギーは
　Ek = (1/2)M[v(T)]^2 = (1/2)M(x0*Ω)^2
であり、これが系の力学的エネルギーとなります。

yhr2 · Answer

No.2 です。（５）について補足。

「ばね」で考えれば、t = 0 のとき v=0 なので、このときの「バネ」の弾性エネルギー
　Eb = (1/2)k(x0)^2　　　③
が「力学的エネルギー」になることも分かりますね？

ばね定数が
　k = M*Ω^2
ですから、これを③に代入して
　Eb = (1/2)M*Ω^2*(x0)^2 = (1/2)M(x0*Ω)^2
であり、当たり前ですが #2 の結果と一致します。

yhr2 · Answer

空気抵抗のある場合の「ばね」の運動を考えればよいと思います。

＞x に比例した復元力 F = −MΩ2x と、

復元力に「質量：M」が関係しますか？　
また「Ω2」って「一つの文字としての定数」ですか？　「Ωの2倍」ですか？　まさか「Ωの2乗」ではないですよね？
まあ、定数として「ばね定数 k = MΩ2」としてしまえば何でもよいのかもしれませんが。

めんどうなので　F = -kx と書いてしまいます。

(1) 運動方程式は
　-kx - βv = Ma

(2) はあ、β = 0 ですか。
だったら
　a = dv/dt = d²x/dt²
ですから、
　d²x/dt² + (k/M)x = 0
の微分方程式を解いてください。
（ああ、そのために k の中に M を入れていたのか！）

あとは基本のキなのでご自分で。
はっきり言って「高校物理」の範囲です。

物理学 力学の問題です。 わからないので教えてください。 問 x 軸上を運動する質量 M の質点に、