物理学の問題です。 図に示すように、平行平板コンデンサの極板間にかけられた直流電圧Vにより、一定な電

物理学の問題です。 図に示すように、平行平板コンデンサの極板間にかけられた直流電圧Vにより、一定な電界Eが存在する。また、極板間には極板に平行に一様な静磁界(磁束密度の大きさB)がかかっている。ここで座標軸を図のようにとり、磁束密度はz軸の負の向きとする。このとき、負極板から無視できる程度の初速度で飛び出した電子が正極板に衝突しないで運動するためには、電圧Vはどのような条件を満たす必要があるかを答えよ。


ヒント:電子の運動を記述する運動方程式を立ててそれを解くことにより、電子のy座標の最大値を求めよ。このとき、単振動の微分方程式d^2Vy/dt^2=ωc^2Vyの初期条件(t=0でVy=0)における解はVy=Asinωctであることを利用せよ。

よろしくお願いします

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/01/26 20:39

まず微分方程式を作ると、磁場による力が速度方向に対して

-90度の方向であることを考慮すると
① m(d^2x/dt^2) = -eB(dy/dt)
② m(d^2y/dt^2) = eE + eB(dx/dt)

① を積分すると
③ m(dx/dt) = -eBy + C(積分定数)

初期条件で dx/dt=0 の時 y=0 を考慮すると C = 0 だから
整理すると

dx/dt = -(eB/m)y

これを ② に代入して

d^2y/dt^2 = eE/m - (eB/m)^2・y

これは (eE/m)÷(eB/m)^2 = mE/(eB^2) を中心とする単振動に
他ならない。蛇足だが角速度は eB/m

t=0 で dy/dt =0 を考慮すると、yの最高値は mE/(eB^2) の2倍。
従って

2mE/(eB^2) < d → E < deB^2/(2m)

V = Ed < d^2・e・B^2/(2m)

オンラインなので誤っていたらすいません。