3√(6) - 3√(2) < π< 24 - 12√(3) の証明について、三角形と扇形の面積比較

3√(6) - 3√(2) < π< 24 - 12√(3)
の証明について、三角形と扇形の面積比較で示すらしいのですが、その際に半径は1と限定しないと上手く求める不等式が出てこないのでしょうか？
（大きい方の三角形COAの面積）>（扇形BOAの面積）>（小さい方の三角形BOAの面積）

上の不等式を整理するのですが、半径＝rとして計算するとOC/OAと出てきたのでtanθ（θ＝π/12）として計算したのですが、上手くいきません。なぜでしょうか？

分かりにくいと思うので、言っていただければ汚い手書きですが、図形貼ります。何かおかしい所があれば言ってください

質問者からの補足コメント

• ありがとうございました

    補足日時：2024/08/30 08:57

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/31 15:54

三角形　COA

の
底辺は　|OA|=r
高さは　|AC|=rtan(θ=π/12)
だから

（大きい方の三角形COAの面積）
=(底辺)(高さ)/2
=|OA||AC|/2
=(1/2)(r^2)tan(θ=π/12)

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/30 14:43

sin(π/12) と tan(π/12) は、倍角公式を使えば求められる。

(半角公式ってのも確かあったはずだが、高校時代も覚えたことがない。)

S = sin(π/12), C = cos(π/12) と置いて、
倍角公式
sin(π/6) = 2 sin(π/12) cos(π/12),
cos(π/6) = cos(π/12) - sin(π/12)
すなわち
1/2 = 2SC,
√3/2 = C^2 - S^2
を S,C の連立方程式として解く。

-(1/4)^2 = (-S^2)(C^2),
√3/2 = C^2 + (-S^2)
より、t = C^2, -S^2 が
t^2 - (√3/2)t - 1/16 = 0 の解になる。
二次方程式を解いて t = √3/4 ± 1/2.
値の正負を見れば
C^2 = √3/4 + 1/2,
-S^2 = √3/4 - 1/2
と判るから、
S = sin(π/12) > 0,
C = cos(π/12) > 0
より
sin(π/2) = √(S^2) = √( - √3/4 + 1/2 ) = (√6 - √2)/4,
cos(π/2) = √(C^2) = √( √3/4 + 1/2 ) = (√6 + √2)/4,
tan(π/2) = S/C = (√6 - √2)/(√6 + √2) = 2 - √3.

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/30 14:00

＞ OC/OA は出てこず、tanθ でなく cosθ の逆数でした。

そおかあ？
点 A,B,C を定義せずに話をしてるので、何言ってんのか
不明なとこもあるけど、よくあるこんな感じの図でしょ？
https://manabitimes.jp/math/669

（小さい方の三角形BOAの面積） = (1/2)(r^2)sinθ,
（扇形BOAの面積） = (1/2)(r^2)θ,
（大きい方の三角形COAの面積） = (1/2)(r^2)tanθ
だから、
(1/2)(r^2)sinθ < (1/2)(r^2)θ < (1/2)(r^2)tanθ　←[1]
であって、tanθ は登場するよ。

θ = π/12 を代入して、各辺を (1/24)(r^2) で割ると
１２sin(π/12) < π < 12tan(π/12)　　　　　　　←[2]
になる。
[1]から[2]を導く過程で、r = 1 を代入したと見るか
各辺を r^2 で割ったと見るかは、各人の自由だけどさ。

計算してみると
１２sin(π/12) = 3√6 - 3√2,
１２tan(π/12) = 24 - 12√3
になるから、
[2]は質問の式と一致している。

あなたが間違えたのは、式変形がどうのこうのというより、
sin(π/12), tan(π/12) の値の計算ミスなんじゃないの？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/30 11:22

比率を求めるのですから、基準になる物を 1 とするのは、

何の問題もない様に思いますよ。
どちらでも 計算がしやすい方を 1 で良いでしょう。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/08/30 10:29

本題からは外れますが気になった事を少し。

質問文の式の√(6)と言うのは単純に「ルート6(6にルートを被せたもの)」と言う意味でしょうか。だとしたら括弧は必要ありません。普通に√6と書けばいいだけです。

例えばa+bの全体にルートを被せたい場合なら括弧を使って

√(a+b)

と書くべきです。ウェブ上で

√a+b

と書いてもルートはaまでしか被さっていないように見えます。

(もちろんウェブ上でなく手書き等の場合は括弧を使う必要はありません)

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2024/08/30 08:11

理屈で言えば、半径rで計算しても同じ結果になります。

※ 半径1での扇型、2つの三角形は、半径rのそれと相似である(証明略)
面積はそれぞれr^2倍になっているので、不等式
（半径rの大きい方の三角形COAの面積）>（半径rの扇形BOAの面積）>（半径rの小さい方の三角形BOAの面積）
は
r^2・（半径1の大きい方の三角形COAの面積）>r^2・（半径1の扇形BOAの面積）>r^2・（半径1の小さい方の三角形BOAの面積）
であり
（半径1の大きい方の三角形COAの面積）>（半径1の扇形BOAの面積）>（半径1の小さい方の三角形BOAの面積）
である。


> 上手くいきません。なぜでしょうか？

あなたが計算を間違えたのでしょう。
あなたがどんな計算をしたかがわからないので、具体的には答えられません。

この回答へのお礼

1から解きなおしたら、OC/OAは出てこず、tanθでなくcosθの逆数でした。何度も見返したんですけどさっきようやく分かりました…ありがとうございました。

お礼日時：2024/08/30 08:57