重心について 半径r、質量8mの円盤があったとして、その円盤の左端を原点とする。(すなわち円の中心の

重心について
半径r、質量8mの円盤があったとして、その円盤の左端を原点とする。(すなわち円の中心の座標はr)。ここで、座標4分のrと4分の7rを中心とした質量2m分の穴をあけたとします。この場合穴を開けた後の重心の座標はrですから、座標rを中心とした質量4m分の穴をあけた場合と同じということですか？

質問者からの補足コメント

• 説明不足です。すみません。m(kg)です。

    補足日時：2024/08/30 13:53

• もとは、円盤の左側をくり抜いた時の重心と比べて、左側がくり抜かれた円盤から上下対称に2つ円盤をくり抜いた時の重心はどうなるか？という問題です。この問題をとく上で、上下対称の2つの穴を1つにまとめて考えるべきだと思いました。一つにまとめる時に、このやり方(質問通り)でいいのかな？と思って質問しました。
  一つにまとめて、(上下2つをまとめた円盤)と(最初の左側をくり抜いた円盤)と(①左側と真ん中(まとめた円盤)の空いた円盤)＝(元の円盤)で重心の公式を用いて、①の重心を求めようと思いました。(値は勝手に自分で設定して。)。やり方合ってますか？

    補足日時：2024/08/30 14:48

• なんで上下の穴をあける前より開けたあとの方が、重心はより右側になるんですか？

  
    補足日時：2024/08/30 16:48

No.6 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/30 23:21

No.3&4 です。

「補足」を見ました。

#4 に書いたように、「上下」には対称形ですから、重心は「中心を通る水平線」上にあります。
あなたが質問文に書いたように「その円盤の左端を原点」とすれば、重心は「ｘ軸上」にあるということです。4

「その円盤の左端を原点」として、元の円盤の半径を r、質量を M とします。
そうすれば
・元の円盤の中心は (r, 0)
・左の切り欠き円盤の中心は ((1/2)r, 0)
　切り欠きの質量は (1/4)M
・上下の切り欠き円盤の中心は ((1/2)r, y1), ((1/2)r, -y1)
　その質量をそれぞれ m としましょう。

原点を支点とした力のモーメントを考えれば、
①切り欠きのない円盤のモーメント
　M･r
②左の切り欠け円のモーメント
　(1/4)M × (1/2)r = (1/8)M･r
③上下の2つの円盤のモーメント
　2m･r

④従って、3つの切り欠きを削除したものの重心を (g, 0) とすれば、このモーメントは
　(M - (1/4)M - 2m)･g = [(3/4)M - 2m]･g

全体のモーメントは
　① = ② + ② + ③
という関係になりますから

　M･r = (1/8)M･r + 2m･r + [(3/4)M - 2m]･g

これより
　 [(3/4)M - 2m]･g = (7/8)M･r + 2m･r
→　g = [(7/8)M･r + 2m･r] / [(3/4)M - 2m]
　　　= [(7/8)M + 2m]･r / [(3/4)M - 2m]　　　(A)

もし、上下の切り欠きの半径が (1/4)r だとすれば
　m = (1/16)M
なので、これを (A) に代入すれば
　g = [(7/8)M + (1/8)M]･r / [(3/4)M - (1/8)M]
　　= M･r / [(5/8)M]
　　= (8/5)r
つまり、求める重心位置は
　((8/5)r, 0)
です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもスッキリしました。

お礼日時：2024/08/31 09:26

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2024/08/30 22:40

上下の穴をあけた場合でも図の右半分の方が重いから

重心は写真の縦線の右側にあるけど、その状態で
縦線上に重心のある円板で上下の穴を埋め戻すと
その2つの円板の重みに引きずられて重心は左に移動する、
つまり2つ穴をあけた後では重心がより右に移動します。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。イメージでは理解出来ました。この問題って理論的に説明できないんでしょうか。

お礼日時：2024/08/30 22:55

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/30 15:08

No.3 です。

やろうとしていることの具体的な内容が分かりませんが、

(1) 切り欠きのない円盤の重心
(2) 切り欠いた部分（この場合には３つの円盤）の配置に従った重心
(3) 切り欠いて残った部分の重心

があれば
(2) と (3) を合成した重心が (1) に等しい
ということを利用して (3) の重心を求めることは可能です。

お示しの問題が、すべて「上下対象」であるなら、問題を「左右のバランス」だけで解くことは可能です。
その場合には、「てこの原理」（力のモーメント）の問題ですから、任意の位置を支点として、それぞれの重心位置までの長さと「質量」のかけ算でバランスを求めます。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/30 14:56

No.2 です。

「補足」を見ました。
やはり「何をしようとしているかわからん」です。

重心は「左右」だけではなくて、「上下」も「斜め」も、すべてが「つり合う」必要があります。

＞(上下2つをまとめた円盤)

これで「斜め」も含めた対称性が確保できますか？

切り取った３つの円盤は、まとめることなく「２次元空間の３つの円盤」として取り扱わないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。この問題どうやって考えれば良いですか？教えて頂きたいです。

お礼日時：2024/08/30 15:04

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/08/30 14:37

何か、問題の内容がよく分かりません。

＞座標4分のrと4分の7rを中心とした質量2m分の穴

穴が２個ということですか？
各々の穴で切り欠いた分の質量が m ずつということ？
それとも、各々 2m ずつ？

＞座標rを中心とした質量4m分の穴をあけた場合

これは、穴が１個で切り欠いた分の質量が 4m ということ？
上と「等しいか」と聞いているということは、上は
「各々の穴で切り欠いた分の質量が 2m ずつ」
ということですか？

上が「各々 2m」であっても、「各々 m」であっても、重心の位置という意味では「Yes」です。
切り欠いたものの位置・質量が重心に対して「対称」であれば、重心位置は変わりません。

ただし、重心周りの「慣性モーメント」はそれぞれ異なります。

No.1 回答者： ogi_3 回答日時： 2024/08/30 13:51

「質量8m」の「ｍ」って、何？

質量の単位は「キログラム　kg」ですよ。