反転円に直交する円は反転によって変わらない。 という性質があるのをしりました。しかし証明がわかりませ

反転円に直交する円は反転によって変わらない。
という性質があるのをしりました。しかし証明がわかりません。そもそも反転円に直交する円が反転円の中心を通ったら直線にうつるのでこのことがなりたたないような気がします。証明を与えてくれるとうれしいです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/22 20:30

反転円

x^2+y^2=1
に直交する円
{x-√(1+r^2)}^2+y^2=r^2
は反転によって変わらない

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/22 16:32

反転円

x^2+y^2=1
に直行する円
(x-1)^2+(y-1)^2=1
は反転によって変わらない

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/21 13:52

誤字で意味不明になったので、訂正：

点O を中心とする円Co と
点A を中心とする円Ca が
点P と点Q で直交しているとします。

P における Co の接線Lo と
P における Ca の接線La と
が直交することになりますが、それは
La が P を通って Lo に垂直な直線であること、
すなわち、La が O を通ることを意味します。
直線OP が、円Ca と接していることになります。
同様に、
直線OQ も、円Ca と接しています。
ることになります。

円Co に関する反転を考えると、
直線OP, OQ は自分自身に移りますし、
Co 上にある点P, Q は移動しません。

反転は、曲線が接する状況を変えないので、
Ca を Co によって反転した円Cb は
点P, Q でそれぞれ直線OP, OQ に接する円
になります。それって、Ca 自身ですよね。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/21 13:48

点O を中心とする円C0 と

点A を中心とする円C１ が
点P と点Q で直交しているとします。

P における C0 の接線L0 と
P における C1 の接線L1 と
が直交することになりますが、それは
L1 が P を通って L0 に垂直な直線であること、
すなわち、L1 が O を通ることを意味します。
直線AP が、円C1 と接していることになります。
同様に、
直線AQ も、円C1 と接しています。
ることになります。

円C0 に関する反転を考えると、
直線AP, AQ は自分自身に移りますし、
C0 上にある点P, Q は移動しません。

反転は、曲線が接する状況を変えないので、
C１ を C0 によって反転した円は
点P, Q でそれぞれ直線AP, AQ に接する円
になります。それって、C1 自身ですよね。